Question

4．在平面直角坐标系xOy中，定义直线y=ax+b为抛物线y=ax²+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y=ax²+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为（3，0）；
（2）若抛物线y=ax²+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；
（3）设抛物线y=ax²+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE∥CF．
①若特征点C为直线y=-4x上一点，求点D及点C的坐标；
②若$\frac{1}{2}$＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是$-\frac{1}{2}≤b＜0$或$\frac{5}{8}＜b＜4$．

Answer 1

分析 （1）根据点A、B求出直线解析式，得到a、b值，即可写出点C坐标；
（2）联立直线与抛物线解析式，即可求出点A（1，a+b），B（-$\frac{b}{a}$，0），根据图象描出两点即可；
（3）求出点D坐标，根据点F、C、E坐标及平行四边形性质，即可求出特征点C的坐标，根据已知和已证得：C（a，b），E（0，b），F（1，0），D（-$\frac{b}{2a}$，0），由CEDF平行四边形性质可以得出b关于a的函数关系式，利用已知$\frac{1}{2}$＜tan∠ODE＜2求出a的取值范围，进而求出b的取值范围；

解答 解：（1）∵A（0，0），B（1.3），
代入：直线y=ax+b，
解得：a=3，b=0，
∴直线y=3x，抛物线解析式：y=3x²，
∴C（3，0）．
故答案为：（3，0）；  

（2）联立直线y=ax+b与抛物线y=ax²+bx，
得：ax²+（b-a）x-b=0，
∴（ax+b）（x-1）=0，
解得：x=-$\frac{b}{a}$，x=1，
∴A（1，a+b），B（-$\frac{b}{a}$，0）．
点A、点B的位置如图所示；


（3）①如图，

∵特征点C为直线y=-4x上一点，
∴b=-4a．
∵抛物线y=ax²+bx的对称轴与x轴交于点D，
∴对称轴$x=-\frac{b}{2a}=2$．
∴点D的坐标为（2，0）．
∵点F的坐标为（1，0），
∴DF=1．
∵特征直线y=ax+b交y轴于点E，
∴点E的坐标为（0，b）．
∵点C的坐标为（a，b），
∴CE∥DF．
∵DE∥CF，
∴四边形DECF为平行四边形．
∴CE=DF=1．
∴a=-1．
∴特征点C的坐标为（-1，4）．
②由已知和已证得：
C（a，b），E（0，b），F（1，0），D（-$\frac{b}{2a}$，0），
∵$\frac{1}{2}$＜tan∠ODE＜2，
∴$\frac{1}{2}$＜$\frac{OE}{OD}$＜2，
∴$\frac{1}{2}$＜|$\frac{b}{-\frac{b}{2a}}$|＜2，
解得：$\frac{1}{2}$＜|2a|＜2，
∴-1＜a＜-$\frac{1}{4}$或$\frac{1}{4}$＜a＜1，
∵DE∥CF，CE∥DF，
∴CE=DF，
由题意可得：1+$\frac{b}{2a}$=a，（可以画出三种图象，由此得出这个结论）
整理得：b=2a²-2a
即：b=2（a-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$
当b=2（a-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$时，
当-1＜a＜-$\frac{1}{4}$，可得$\frac{5}{8}＜b＜4$．
当$\frac{1}{4}$＜a＜1时，可得-$\frac{1}{2}$≤b＜0
综上所述：$\frac{5}{8}＜b＜4$或-$\frac{1}{2}$≤b＜0．

点评 题目考查了新定义特征点、特征线及二次函数综合应用，题目整体难易适中，对学生最大的难点在于对新定义的理解．适合学生对中考压轴题目训练．