Question

【题目】如图，已知一次函数的图象分别交轴、轴于、两点，点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒2个单位长度向点匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为秒，过点作轴，连接、.

（1）点的坐标为________，点的坐标为________，________；

（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由.

（3）若点，点在轴上，直线上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）A(6,0)，B(0,6)，12；（2）当t=2412时，四边形APCQ为菱形；（3）M点的坐标为(2,4),(10,4),(2,8).

【解析】

（1）分别令y=0，x=0，即可求得A、B的坐标，然后根据勾股定理即可求得AB的长；

（2）先求得∠BQC=∠BAO=30°，从而得出QC=QB，进而求得QC=t，因为AP=t，所以四边形APCQ是平行四边形，如果AQ=QC，则四边形APCQ为菱形，根据AQ=QC即可求得；

（3）根据以M、N、B、D为顶点的四边形是平行四边形，可知M点的纵坐标为4，把y=4代入y=x+6即可求得；

(1)如图1,∵一次函数y=x+6的图象分别交x轴、y轴于A. B两点，

令y=0,则0=x+6,解得：x=6，

∴A(6,0)，

令x=0，则y=6，

∴B(0,6)，

∴AB= =12；

(2)如图1,∵直线AB的斜率为，

∴∠BAO=30°，

∵QC⊥y轴，

∴QC∥x轴，

∴∠BQC=∠BAO=30°，

∴QC=QB，

∵QB=2t，

∴QC=t，

∵AP=t，

∴四边形APCQ是平行四边形，

∴如果AQ=QC，则四边形APCQ为菱形，

∵AB=12，

∴AQ=122t，

即122t=t,解得：t=2412，

∴当t=2412时，四边形APCQ为菱形，

(3)如图2,∵B(0,6),D(0,2)，

∴BD=4,

当BD是平行四边形的边时，

∵四边形MNDB是平行四边形，

∴MN=BD=4，MN⊥x轴，

把y=4代入y=x+6得：4=x+6，

解得：x=2，

∴M(2,4).

把y=4代入y=x+6得：4=x+6，

解得：x=10，

M(10,4)，

当BD是平行四边形的对角线时，

∵BM1=BM2，

∴M的横坐标为2，

代入y=x+6得y=8，

∴M(2,8)，

故M点的坐标为(2,4),(10,4),(2,8).