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【题目】将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置,BD为重合的对角线.重叠部分为四边形DHBG,

(1)试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形,并说明理由;
(2)若AB=8,AD=4,求四边形DHBG的面积.

【答案】
(1)解:四边形DHBG是菱形.理由如下:

∵四边形ABCD、FBED是完全相同的矩形,

∴∠A=∠E=90°,AD=ED,AB=EB.

在△DAB和△DEB中,

∴△DAB≌△DEB(SAS),

∴∠ABD=∠EBD.

∵AB∥CD,DF∥BE,

∴四边形DHBG是平行四边形,∠HDB=∠EBD,

∴∠HDB=∠HBD,

∴DH=BH,

DHBG是菱形.


(2)解:由(1),设DH=BH=x,则AH=8﹣x,

在Rt△ADH中,AD2+AH2=DH2,即42+(8﹣x)2=x2

解得:x=5,即BH=5,

∴菱形DHBG的面积为HBAD=5×4=20.


【解析】(1)四边形DHBG是菱形.理由如下:根据矩形的性质得出∠A=∠E=90°,AD=ED,AB=EB.进而利用SAS判断出△DAB≌△DEB,再根据全等三角形的性质得出∠ABD=∠EBD,然后判断出四边形DHBG是平行四边形,∠HDB=∠EBD,然后根据平行四边形的性质得出∠HDB=∠HBD,从而知道DH=BH,进而得出结论;
(2)由(1),设DH=BH=x,则AH=8﹣x,在Rt△ADH中,由勾股定理得出关于x的方程,求解即可,然后根据菱形面积公式算出面积。
【考点精析】掌握勾股定理的概念和平行四边形的判定与性质是解答本题的根本,需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,并且这两条直线二等分此平行四边形的面积.

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