Question

2．（1）如图1，将∠EAF绕着正方形ABCD的顶点A顺时针旋转，∠EAF的两边交BC于E，交CD于F，连接EF．若∠EAF=45°，BE、DF的长度是方程x²-5x+6=0的两根，请直接写出EF的长；
（2）如图2，将∠EAF绕着四边形ABCD的顶点A顺时针旋转，∠EAF的两边交CB的延长线于E，交DC的延长线于F，连接EF．若AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，请直接写出EF与DF、BE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的前提下，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周长．
①EF的长为：5；
②数量关系：EF=DF-BE．

Answer 1

分析 （1）先证明△ABE≌△ADM，再证明△AEF≌△AMF，得到EF=DF+BE即可；
（2）先证明△ADM≌△ABE，再证明△EAF≌△MAF，即可；
（3）直接计算△_CEF的周长=EF+BE+BC+CF=DF+BC+CF=9+4+2=15．

解答 （1）解：如图1，

延长CD使DM=BE，连接AM；
在△ABE和△ADM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADM=90°}\\{BE=DM}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADM，
∴AE=AM，∠EAB=∠DAM，
∵∠EAF=45°，且∠EAB=∠DAM，
∴∠BAF+∠DAM=45°，即∠MAF=45°=∠EAF，
又∵AE=AM，AF=AF，
∴△AEF≌△AMF，
∴EF=FM，
∵FM=DF+DM，
∴EF=DF+NB，
即EF=DF+BE；
∵BE、DF的长度是方程x²-5x+6=0的两根，
∴BE=2，DF=3，
∴EF=DF+BE=3+2=5，
（2）证明：

如图2，在DF上截取DM=BE，
∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠D=∠ABE，
∴AD=AB，
∴△ADM≌△ABE，
∴AM=AE，
∴∠DAM=∠BAE；
∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=∠DAM+∠BAF=∠BAD-∠FAM=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠MAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠EAF=∠MAF；
∵AF是△EAF与△MAF的公共边，
∴△EAF≌△MAF，
∴EF=MF；
∵MF=DF-DM=DF-BE，
∴EF=DF-BE．
（3）由上面的结论知：DF=EF+BE；
∵BC=4，DC=7，CF=2，
∴DF=CD+CF=9
∴△_CEF的周长=EF+BE+BC+CF=DF+BC+CF=9+4+2=15．
即△CEF的周长为15．
①EF=DF-BE=FC+CD-BE=5
②和（2）方法一样，EF=DF-BE．
故答案为EF=DF-BE．

点评 此题是几何变换的综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定，通过两步全等来证得到关键的两组线段相等是本题的基本思路．