Question

如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作EF⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）猜想线段DF、BF、AC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）若AO=

5

2

，tan∠C=2，求线段EF的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OD，由AO=BO，BD=DC，可判断OD为△BAC的中位线，则OD∥AC，由于EF⊥AC，则EF⊥OD，于是可根据切线的判定定理得到EF为⊙O的切线；
（2）连结AD，根据圆周角定理得∠ADB=90°，而BD=CD，根据等腰三角形的判定得AB=AC，再根据等角的余角相等得到∠DAB=∠BDF，则可判断△FBD∽△FDA，得到DF：AF=BF：DF，理由比例性质得DF²=BF•FA=BF•（BF+AB），所以DF²=BF²+BF•AC；
（3）先得到OD=

5

2

，AB=AC=5，在Rt△ACD中，理由正切的定义得到AD=2CD，再根据勾股定理得AD²+CD²=AC²，可解得CD=

5

，在Rt△ECD中，同样可求得CE=1，则DE=2，AE=AC-CE=4，然后根据△FOD∽△FAE，利用相似比可求出EF．

解答：（1）证明：连接OD，如图，
∵AO=BO，BD=DC，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∵OD为半径，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：DF²=BF²+BF•AC．理由如下：
连结AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
而BD=CD，
∴AB=AC，∠DAB+∠ABD=90°，
∵OD⊥DF，
∴∠ODB+∠BDF=90°，
而OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠DAB=∠BDF，
而∠BFD=∠DFA，
∴△FBD∽△FDA，
∴DF：AF=BF：DF，
∴DF²=BF•FA，
∴DF²=BF•（BF+AB）
∴DF²=BF²+BF•AC；
（3）解：∵AO=

5

2

，
∴OD=

5

2

，AB=AC=5，
在Rt△ACD中，tanC=

AD

CD

=2，
∴AD=2CD，
∵AD²+CD²=AC²，
∴4CD²+CD²=5²，解得CD=

5

，
在Rt△ECD中，tanC=

DE

CE

=2，
∴DE=2CE，
∵DE²+CE²=CD²，
∴4CE²+CE²=5，解得CE=1，
∴DE=2，AE=AC-CE=4，
∵OD∥AE，
∴△FOD∽△FAE，
∴

OD

AE

=

DF

EF

，即

5 2

4

=

EF-2

EF

，
∴EF=

16

3

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理．