Question

在矩形ABCD中，DC=

6

，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．
（1）求证：△DEC∽△FDC；
（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．

Answer 1

考点：矩形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据矩形性质和垂直定义得出∠DEC=∠FDC=90°，根据相似三角形的判定定理推出即可；
（2）求出FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，推出FE：FC=1：3，求出sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=

1

3

；设EF=x，则FC=3x，x=1，根据相似求出x=1，求出CF，根据勾股定理求出DF即可．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FDC=90°，
∵CF⊥BD，
∴∠DEC=∠FDC=90°，
∵∠DCE=∠FCD，
∴△DEC∽△FDC．

（2）解：∵F为AD的中点，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，
∴FE：FC=1：3，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=

1

3

；                      
设EF=x，则FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，
∴

CE

CD

=

CD

FC

，即可得：6x²=6，
解得：x=1，
则CF=3，
在Rt△CFD中，DF=

FC2-CD2

=

3

，
∴BC=2DF=2

3

．

点评：本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．