Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以边AC为直径作⊙O，与斜边AB交于点M，点N是边BC的中点，连接MN．  
（1）如图①，求证：MN是⊙O的切线；
（2）如图②，作直径MD，连接DN，若MN=

3

2

，sinA=

3

5

，求DN的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理

专题：证明题

分析：（1）连结CM、OM，根据圆周角定理由AC为⊙O的直径得到∠AMC=90°，而点N是边BC的中点，所以MN为Rt△BCM的斜边BC上的中线，则NM=NC，所以∠1=∠2，加上∠3=∠4，则∠1+∠4=∠2+∠3，即∠OMN=∠OCN，得到∠OMN=90°，于是可根据切线的判定定理得到MN是⊙O的切线；
（2）连结MC，由①得MN为Rt△BCM的斜边BC上的中线，得到BC=2MN=3，在Rt△ABC中，利用正切的定理可计算出AB=5，再利用勾股定理开始计算出AC=4，则MD=4，然后在Rt△DMN中根据勾股定理计算DN的长．

解答：（1）证明：连结CM、OM，如图①，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AMC=90°，
∵点N是边BC的中点，
∴NM=NC，
∴∠1=∠2，
∵OM=OC，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠OMN=∠OCN，
而∠ACB=90°，
∴∠OMN=90°，
∴OM⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：连结MC，如图②，由①得MN为Rt△BCM的斜边BC上的中线，
∴BC=2MN=2×

3

2

=3，
在Rt△ABC中，sinA=

BC

AB

=

3

5

，
∴AB=5，
∴AC=

AB2-BC2

=4，
∴MD=4，
在Rt△DMN中，DN=

DM2+MN2

=

42+( 3 2 )2

=

73

2

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和勾股定理．