Question

抛物线y=x²-kx-3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（1+k，0）．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M落在线段BC上，记该抛物线为G，求抛物线G所对应的函数表达式；
（3）将线段BC平移得到线段B′C′（B的对应点为B′，C的对应点为C′），使其经过（2）中所得抛物线G的顶点M，且与抛物线G另有一个交点N，求点B′到直线OC′的距离h的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将B（1+k，0）代入y=x²-kx-3，得到（1+k）²-k（1+k）-3=0，解方程求出k=2，即可得到抛物线对应的函数表达式；
（2）先求出点B、点C的坐标，运用待定系数法得到直线BC的解析式为y=x-3，再由（1）中抛物线的对称轴为直线x=1，根据平移的规律得出抛物线G的顶点M的坐标为（1，-2），然后利用顶点式得到抛物线G所对应的函数表达式为y=（x-1）²-2，转化为一般式即y=x²-2x-1；
（3）连结OB′，过B′作B′H⊥OC′于点H．根据正弦函数的定义得出B′H=B′C′•sin∠C=3

2

•sin∠C′，则当∠C′最大时h最大；当∠C′最小时h最小．即h的取值范围在最大值与最小值之间．由图2可知，当C′与M重合时，∠C′最大，h最大．根据S_△OB′C′=S_△OB′B+S_△OBC′，求出B′H=

9

5

5

；由图3可知，当B′与M重合时，∠C′最小，h最小．根据S_△OB′C′=S_△OCB′+S_△OCC，求出B′H=

9

29

29

，则

9

29

29

≤h≤

9

5

5

．

解答：解：（1）将B（1+k，0）代入y=x²-kx-3，
得（1+k）²-k（1+k）-3=0，
解得k=2，
所以抛物线对应的函数表达式为y=x²-2x-3；

（2）当k=2时，点B的坐标为（3，0）．
∵y=x²-2x-3，
∴当x=0时，y=-3，
∴点C的坐标为（0，-3）．
设直线BC的解析式为y=mx+n，
则

3m+n=0 n=-3

，解得

m=1 n=-3

，
∴直线BC的解析式为y=x-3．
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移时横坐标不变．
把x=1代入y=x-3可得y=-2，
∴抛物线G的顶点M的坐标为（1，-2），
∴抛物线G所对应的函数表达式为y=（x-1）²-2，即y=x²-2x-1；

（3）连结OB′，过B′作B′H⊥OC′于点H．
∵B′H=B′C′•sin∠C=3

2

•sin∠C′，
∴当∠C′最大时h最大；当∠C′最小时h最小．由图2可知，当C′与M重合时，∠C′最大，h最大．
此时，S_△OB′C′=S_△OB′B+S_△OBC′，
∴

1

2

OC′•B′H=

3

2

+3，
∴B′H=

9

5

5

；
由图3可知，当B′与y=x²-2x-1的顶点M重合时，B'（2，-1），则C'（-1，-4），∠C'最小，h最小．此时，S_△OB′C′=S_△OCB′+S_△OCC'，
∴

1

2

OC′•B′H=

3

2

+3=

9

2

，
此时∵C′（-1，-4）
∴OC'=

1+16

=

17

∴B'H=

9 17

17

．
综上所述，

9 17

17

≤h≤

9

5

5

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，抛物线的顶点坐标求法，二次函数平移的规律，锐角三角函数的定义和三角形的面积求法等知识．综合性较强，有一定难度．