Question

7．如图（1），四边形ABCD中，AD∥BC，点E是线段CD上一点，
（1）说明：∠AEB=∠DAE+∠CBE；
（2）如图（2），当AE平分∠DAC，∠ABC=∠BAC．
①说明：∠ABE+∠AEB=90°；
②如图（3）若∠ACD的平分线与BA的延长线交于点F，且∠F=60°，求∠BCD．

Answer 1

分析 （1）过E作EF∥AD，根据AD∥BC可得出EF∥BC，故可得出∠DAE=∠EAF，∠CBE=∠BEF，由此可得出结论；
（2）①根据AD∥BC可知∠DAC=∠ACB．再由AE平分∠DAC得出∠EAC=$\frac{1}{2}$∠DAC=$\frac{1}{2}$∠ACB，根据∠ABC=∠BAC，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°即可得出结论；
②由①知∠BAE=90°，故∠FAE=90°．再由三角形外角的性质得出∠AGC=90°+60°=150°．根据三角形内角和定理得出∠GAC+∠ACG=30°．由AE平分∠DAC，CF平分∠ACD及三角形内角和定理得出∠D的度数，再由平行线的性质即可得出结论．

解答 解：（1）过E作EF∥AD，
∵AD∥BC，
∴EF∥BC，
∴∠DAE=∠AEF，∠CBE=∠BEF，
∴∠AEB=∠DAE+∠CBE；

（2）①证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB．
∵AE平分∠DAC，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠DAC=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠ABC=∠BAC，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠EAC=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°；
②解：如图（3），由①知∠BAE=90°，
∴∠FAE=90°．
∵∠F=60°，
∴∠AGC=90°+60°=150°．
∴∠GAC+∠ACG=30°．
∵AE平分∠DAC，CF平分∠ACD，
∴∠DAC+∠ACD=2（∠GAC+∠ACG）=60°，
∴∠D=180°-60°=120°．
∵AD∥BC，
∴∠BCD=180°-∠D=180°-120°=60°．

点评 本题考查的是平行线的性质，涉及到角平分线的性质、三角形内角和定理等知识，难度适中．