Question

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．
（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由C的坐标确定出OC的长，在直角三角形BOC中，利用勾股定理求出OB的长，确定出点B坐标，把B与C坐标代入直线解析式求出k与n的值，确定出直线BC解析式，把A与B坐标代入抛物线解析式求出a的值，确定出抛物线解析式即可；
（2）在抛物线的对称轴上不存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，如图所示，分两种情况考虑：当PC⊥CB时，△PBC为直角三角形；当P′B⊥BC时，△BCP′为直角三角形，分别求出P的坐标即可．

解答 解：（1）∵C（0，3），即OC=3，BC=5，
∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得：OB=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=4，即B（4，0），
把B与C坐标代入y=kx+n中，得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{3}{4}$，n=3，
∴直线BC解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3；
由A（1，0），B（4，0），设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-4）=ax²-5ax+4a，
把C（0，3）代入得：a=$\frac{3}{4}$，
则抛物线解析式为y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3；

（2）存在．
如图所示，分两种情况考虑：
∵抛物线解析式为y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3，
∴其对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-\frac{15}{4}}{2×\frac{3}{4}}$=$\frac{5}{2}$．
当P₁C⊥CB时，△P₁BC为直角三角形，
∵直线BC的斜率为-$\frac{3}{4}$，
∴直线P₁C斜率为$\frac{4}{3}$，
∴直线P₁C解析式为y-3=$\frac{4}{3}$x，即y=$\frac{4}{3}$x+3，
与抛物线对称轴方程联立得$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{3}x+3\\ x=\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}\\ y=\frac{19}{3}\end{array}\right.$，
此时P（$\frac{5}{2}$，$\frac{19}{3}$）；
当P₂B⊥BC时，△BCP₂为直角三角形，
同理得到直线P₂B的斜率为$\frac{4}{3}$，
∴直线P₂B方程为y=$\frac{4}{3}$（x-4）=$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$，
与抛物线对称轴方程联立得：$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}\\ x=\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}\\ y=-2\end{array}\right.$，
此时P₂（$\frac{5}{2}$，-2）．
综上所示，P₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{19}{3}$）或P₂（$\frac{5}{2}$，-2）．
当点P为直角顶点时，设P（$\frac{5}{2}$，y），
∵B（4，0），C（0，3），
∴BC=5，
∴BC²=PC²+PB²，即25=（$\frac{5}{2}$）²+（y-3）²+（$\frac{5}{2}$-4）²+y²，解得y=$\frac{3±2\sqrt{6}}{2}$，
∴P₃（$\frac{5}{2}$，$\frac{3+2\sqrt{6}}{2}$），P₄（$\frac{5}{2}$，$\frac{3-2\sqrt{6}}{2}$）．
综上所述，P₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{19}{3}$），P₂（$\frac{5}{2}$，-2），P₃（$\frac{5}{2}$，$\frac{3+2\sqrt{6}}{2}$），P₄（$\frac{5}{2}$，$\frac{3-2\sqrt{6}}{2}$）．

点评 此题考查的是二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，二次函数的性质，以及两直线垂直时斜率的关系，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．