Question

15．（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．直接写出线段AF与BD之间的数量关系．
（2）类比猜想：如图②，当△ABC为以BC为斜边的等腰直角三角形，D是△ABC边BA上一动点（点D 与点B不重合），连接DC，以DC为斜边在BC上方作等腰直角△FDC，连接AF． 请直接写出它们的数量关系．
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当△ABC为以BC为底边的等腰三角形，D是△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为底边在BC上方作等腰△FDC，∠BC A=∠DCF，且∠BAC=α，连接AF．线段AF与BD之间的有什么数量关系？证明你发现的结论；
Ⅱ．如图④，当△ABC为任意三角形，D是△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作△FDC∽△ABC，且$\frac{BC}{AC}$=k，连接AF．线段AF与BD之间的有什么数量关系？直接写出你发现的结论．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质证明△FCA≌△DCB，得到线段AF与BD之间的数量关系；
（2）根据等腰直角三角形的性质证明△FCA∽△DCB，得到线段AF与BD之间的数量关系；
（3）Ⅰ、根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的概念求出BC与AC的比，证明△BCD∽△ACF，得到线段AF与BD之间的数量关系；
Ⅱ、根据△FDC∽△ABC，证明△BCD∽△ACF，得到线段AF与BD之间的数量关系．

解答 解：（1）∵等边△ABC，等边△DCF，
∴FC=DC，AC=BC，∠FCA+∠ACD=∠BCD+∠ACD=60°，
∴∠FCA=∠DCB，
在△FCA和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CD}\\{∠FCA=∠DCB}\\{CA=CB}\end{array}\right.$，
∴△FCA≌△DCB，
∴BD=AF； 
（2）∵（1）∵△ABC是等腰直角三角形，△DCF是等腰直角三角形，
∴$\frac{FC}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{CB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{FC}{CD}$=$\frac{AC}{CB}$，
∠FCA+∠ACD=∠BCD+∠ACD=45°，
∴∠FCA=∠DCB，
∴△FCA∽△DCB，
∴$\frac{AF}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）Ⅰ．∵△ABC为以BC为底边的等腰三角形，△FDC 为以DC为底边的等腰三角形，
∠BCA=∠DCF，
∴△ABC∽△FDC，
∴$\frac{CD}{CF}$=$\frac{BC}{AC}$，∠ACF=∠BCD，
∴△BCD∽△ACF，
∴$\frac{BD}{AF}$=$\frac{BC}{AC}$，
如图③，作AP⊥BC，
$\frac{BC}{AC}$=$\frac{2CP}{AC}$=2sin$\frac{1}{2}$∠BAC=2sin$\frac{1}{2}$α，
∴$\frac{BD}{AF}$=2sin$\frac{1}{2}$α；  
Ⅱ、∵△FDC∽△ABC，
∴$\frac{CF}{CA}=\frac{CD}{CB}$，∠FCA+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠FCA=∠DCB，
∴△FCA∽△DCB，
∴$\frac{BD}{AF}$=$\frac{BC}{AC}$=k．

点评 本题考查的是等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形的性质和全等三角形、相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的知识，正确运用类比思想、灵活运用所学的性质定理是解题的关键．