【题目】以四边形ABCD的边AB、AD为底边分别作等腰三角形ABF和ADE,连接EB.
(1)当四边形ABCD为正方形时(如图1),以边AB、AD为斜边分别向外侧作等腰直角三角形ABF和ADE,连接EB、FD,线段EB和FD的数量关系是 .
(2)当四边形ABCD为矩形时(如图2),以边AB、AD为斜边分别向内侧作等腰直角三角形ABF和ADE,连接EF、BD,线段EF和BD具有怎样的数量关系?请加以证明;
(3)当四边形ABCD为平行四边形时(如图3),以边AB、AD为斜边分别向平行四边形内测、外侧作等腰直角三角形ABF和ADE,且△EAD与△FBA的顶角都为α,连接EF、BD,交点为G,请用α表示出∠EGD,并说明理由.
图1 图2 图3
【答案】(1)EF=BD;(2)EF=BD;(3)
【解析】分析:(1)正方形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的证明方法可证明△AFD≌△ABE,由全等三角形的性质即可得到EB=FD;(2)根据等腰直角三角形的性质可得,再证得∠BAD=∠FAE,即可判定△BAD∽△FAE ,根据相似三角形的性质可得,即可得;(3),先证△BFA∽△DEA,即可得,
再证得,所以△BAD∽△FAE,根据全等三角形的性质即可得,再由∠AHE=∠DHG,即可得.
详解:(1)EF=BD,
理由如下:
四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,
∵以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE,
∴AF=AE,∠FAB=∠EAD=60°,
∵∠FAD=∠BAD+∠FAB=90°+60°=150°,
∠BAE=∠BAD+∠EAD=90°+60°=150°,
∴∠FAD=∠BAE,
在△AFD和△ABE中, ,
∴△AFD≌△ABE,
∴EB=FD;
(2)EF=BD.
证明:∵△AFB为等腰直角三角形
∴,∠FAB=45°
同理: ,∠EAD=45° ∴∠BAD+∠FAD=∠EAD+∠DAF
即∠BAD=∠FAE
∵, ∴
∴△BAD∽△FAE ∴
即:
(3)解:
∵△AFB为等腰直角三角形,∴FB=FA,
同理:ED=EA,∴,
又∵ ,∴△BFA∽△DEA,
∴,
∴,
∴,
∴△BAD∽△FAE,
∴,
又∵∠AHE=∠DHG,
∴.
点睛:本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等腰直角三角形的先证、相似三角形的判定和性质,题目的综合性很强,难度也不小,解题的关键是对特殊几何图形的性质要准确掌握.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】如图,二次函数的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).连接BC.
(1)求二次函数的解析式和直线BC的解析式;
(2)点M是直线BC上的一个动点(不与B、C重合),过点M作x轴的垂线,交抛物线于点N,交x轴于点P.
①如图1,求线段MN长度的最大值;
②如图2,连接AM,QN,QP.试问:抛物线上是否存在点Q,使得与的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某学校举行演讲比赛,选出了10名同学担任评委,并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分):
方案①:所有评委所给分的平均数;
方案②:在所有评委所给分中,去掉一个最高分和一个最低分,然后再计算其余给分的平均数;
方案③:所有评委所给分的中位数;
方案④:所有评委所给分的众数。
为了探究上述方案的合理性,先地某个同学的演讲成绩进行了统计实验,如图是这个同学的得分统计图。
(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分;
(2)根据(1)中的结果,请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分,并说明你的理由。
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)交x轴于A、B两点,A点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,4),以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动,分别交x轴于点E,交CD于点F,交AC于点M,交抛物线于点P,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示PM的长;
(3)在(2)的条件下,连结PC,则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似?若存在,求出此时m的值,并直接判断△PCM的形状;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】菱形ABCD中, ,其周长为32,则菱形面积为____________.
【答案】
【解析】分析:根据菱形的性质易得AB=BC=CD=DA=8,AC⊥BD, OA=OC,OB=OD,再判定△ABD为等边三角形,根据等边三角形的性质可得AB=BD=8,从而得OB=4,在Rt△AOB中,根据勾股定理可得OA=4,继而求得AC=2AO=,再由菱形的面积公式即可求得菱形ABCD的面积.
详解:∵菱形ABCD中,其周长为32,
∴AB=BC=CD=DA=8,AC⊥BD, OA=OC,OB=OD,
∵,
∴△ABD为等边三角形,
∴AB=BD=8,
∴OB=4,
在Rt△AOB中,OB=4,AB=8,
根据勾股定理可得OA=4,
∴AC=2AO=,
∴菱形ABCD的面积为: =.
点睛:本题考查了菱形性质:1.菱形的四个边都相等;2.菱形对角线相互垂直平分,并且每一组对角线平分一组对角;3.菱形面积公式=对角线乘积的一半.
【题型】填空题
【结束】
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【题目】如图,在△ABC中, , AC=BC=3, 将△ABC折叠,使点A落在BC 边上的点D处,EF为折痕,若AE=2,则的值为_____________.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】“食品安全”受到全社会的广泛关注,济南市某中学对部分学生就食品安全知识的了解程度,采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了下面两份尚不完整的统计图,请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题.
(1)接受问卷调查的学生共有_____人,扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为_____.
(2)请补全条形统计图.
(3)若该中学共有学生900人,请根据上述调查结果,估计该中学学生中对食品安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数.
(4)若从对食品安全知识达到“了解”程度的2个女生和2个男生中随机抽取2人参加食品安全知识竞赛,请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率.
【答案】(1)60;90°;(2)补图见解析;(3)300;(4)
【解析】分析:(1)根据了解很少的人数除以了解很少的人数所占的百分百求出抽查的总人数,再用“基本了解”所占的百分比乘以360°,即可求出“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的度数;(2)用调查的总人数减去“基本了解”“了解很少”和“基本了解”的人数,求出了解的人数,从而补全统计图;(3)用总人数乘以“了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例,即可求出达到“了解”和“基本了解”程度的总人数;(4)根据题意列出表格,再根据概率公式即可得出答案.
详解:(1)60;90°.
(2)补全的条形统计图如图所示.
(3)对食品安全知识达到“了解”和“基本了解”的学生所占比例为,由样本估计总体,该中学学生中对食品安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为.
(4)列表法如表所示,
男生 | 男生 | 女生 | 女生 | |
男生 | 男生男生 | 男生女生 | 男生女生 | |
男生 | 男生男生 | 男生女生 | 男生女生 | |
女生 | 男生女生 | 男生女生 | 女生女生 | |
女生 | 男生女生 | 女生女生 |
所有等可能的情况一共12种,其中选中1个男生和1个女生的情况有8种,所以恰好选中1个男生和1个女生的概率是.
点睛:本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用列表法或树状图法求概率,根据题意求出总人数是解题的关键;注意运用概率公式:概率=所求情况数与总情况数之比.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】为响应国家全民阅读的号召,某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书,并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位:本),该阅览室在2015年图书借阅总量是7500本,2017年图书借阅总量是10800本.
(1)求该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率.
(2)已知2017年该社区居民借阅图书人数有1350人,预计2018年达到1440人,如果2017年至2018年图书借阅总量的增长率不低于2015年至2017年的年平均增长率,设2018年的人均借阅量比2017年增长a%,求a的值至少是多少?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知单项式x3ya与单项式﹣5xby是同类项,c是多项式2mn﹣5m﹣n﹣3的次数.
(1)写出a,b,c的值;
(2)若关于x的二次三项式ax2+bx+c的值是3,求代数式2019﹣2x2﹣6x的值.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,矩形ABCD的面积为16cm2,对交线交于点O;以AB、AO为邻边作平行四边AOC1B,对角线交于点O1,以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B,…;依此类推,则平行四边形AO4C5B的面积为( )
A. cm2 B. 1cm2 C. 2cm2 D. 4cm2
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(本题8分)如图,某住宅小区在施工过程中留下了一块空地,已知AD=4米,CD=3米,∠ADC=90°,AB=13米,BC=12米,小区为美化环境,欲在空地上铺草坪,已知草坪每平方米100元,试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元?
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