Question

10．已知关于x的方程x²+2（k-2）x+k²+4=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程有两个实数根x₁，x₂，且x₁²+x₁²-x₁x₂=21，求k的值．

Answer 1

分析 （1）方程有两个实数根，可得△=b²-4ac≥0，代入可解出k的取值范围；
（2）结合（1）中k的取值范围，由题意可知，x₁+x₂=-2（k-2），x₁x₂=k²+4代入x₁²+x₁²-x₁x₂=21可得出k的值．

解答 解：（1）∵关于x的方程x²+2（k-2）x+k²+4=0有两个实数根，
∴△=[2（k-2）]²-4（k²+4）=4（k²-4k+4）-4k²-16=-16k≥0，
解得：k≤0；
（2）∵此方程有两个实数根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-2（k-2），x₁x₂=k²+4，
∴x₁²+x₂²-x₁x₂=（x₁+x₂）²-3x₁x₂=21，
即[-2（k-2）]²-3（k²+4）=k²-16k+4=21，
k²-16k-17=0，
解得：k₁=17，k₂=-1，
∵k≤0，
∴k=-1．

点评 此题主要考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．