Question

13．如图，点O是直线l上一点，点A、B位于直线l的两侧，且∠AOB=90°，OA=OB，分别过A、B两点作AC⊥l，交直线l于点C，BD⊥l，交直线l于点D．
（1）求证：AC=OD；
（2）若CD=1，OC=3，求OA的长．

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等求出∠A=∠BOD，然后利用“角角边”证明△AOC和△OBD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
（2）由（1）可知△AOC≌△OBD（AAS），所以可得：AC=OD=4，再利用勾股定理即可求出OA的长．

解答 （1）证明：∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠A+∠AOC=90°，
∴∠A=∠BOD，
在△AOC和△OBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BOD}\\{∠ACO=∠BDO=90°}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴AC=OD；
（2）解：∵△AOC≌△OBD，
∴AC=OD，
∵CD=1，OC=3，
∴AC=3+1=4，
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质以及勾股定理的运用，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．