Question

16．如图，已知直线y=-2x+8和x轴、y轴分别交于B和A，直线l经过点C（2，-4）和D（0，-3），向下平移1个单位后与x轴、y轴分别交于点E，F，直线AB和EF相交于P．
（1）求直线l的解析式；
（2）①求证：△AOB≌△EOF；
②判断△APE的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）设直线l的解析式为y=kx+b，将C、D坐标代入，求出k、b的值，继而可求得解析式；
（2）①先求出直线向下平移1个单位后的解析式，得出点E、F的坐标，根据AB解析式求出A、B坐标，可得AO=EO，BO=FO，根据SAS证明△AOB≌△EOF；
②由①知△AOB≌△EOF，可得∠OAB=∠OEF，又根据OA=OE，得出∠OAE=∠OEA，可得∠PAE=∠PEA，最后判断△APE是等腰三角形．

解答 解：（1）设y=kx+b，
将C、D坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-4}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
即y=-$\frac{1}{2}$x-3；
（2）①直线向下平移1个单位后解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-4，
∴E（-8，0），F（0，-4），
又∵直线y=-2x+8和x轴、y轴分别交于B和A，
∴A（0，8），B（4，0），
∴OE=OA=8，OF=OB=4，
在△AOB和△EOF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OE=OA}\\{∠EOF=∠AOB}\\{OF=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△EOF（SAS）；
②△APE是等腰三角形．
由①知△AOB≌△EOF，
∴∠OAB=∠OEF，
又OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠OAB+∠OAE=∠OEF+∠OEA，
即∠PAE=∠PEA，
∴△APE是等腰三角形．

点评 本题考查了一次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解函数解析式、平移的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定，知识点较多，难度适中．