Question

【题目】如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交于AB于P，且CP=CB．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）已知∠BAO=25°，点Q是弧AmB上的一点.

①求∠AQB的度数；

②若OA=18，求弧AmB的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①∠AQB=65°，②l弧AmB=23π.

【解析】

(1)连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再根据∠PAO+∠APO=90°，继而得出∠OBC=90°，问题得证；

(2)①根据等腰三角形的性质可得∠ABO=25°，再根据三角形内角和定理可求得∠AOB的度数，继而根据圆周角定理即可求得答案；

②根据弧长公式进行计算即可得.

(1)连接OB，

∵CP=CB，

∴∠CPB=∠CBP，

∵OA⊥OC，

∴∠AOC=90°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵∠PAO+∠APO=90°，

∴∠ABO+∠CBP=90°，

∴∠OBC=90°，

∴BC是⊙O的切线；

(2)①∵∠BAO=25° ，OA=OB，

∴∠OBA=∠BAO=25°，

∴∠AOB=180°-∠BAO-∠OBA=130°，

∴∠AQB=∠AOB=65°；

②∵∠AOB=130°，OB=18，

∴l弧AmB==23π.