Question

【题目】抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）已知点D 在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D’的坐标;

（3）在（2）的条件下，连结BD，问在x轴上是否存在点P，使，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）（0，-1）

（3）（1,0）（9,0）

【解析】

（1）将A（1，0）、C（0，3）两点坐标代入抛物线y＝ax2＋bx3a中，列方程组求a、b的值即可；

（2）将点D（m，m1）代入（1）中的抛物线解析式，求m的值，再根据对称性求点D关于直线BC对称的点D'的坐标；

（3）分两种情形①过点C作CP∥BD，交x轴于P，则∠PCB＝∠CBD，②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于P′，分别求出直线CP和直线CP′的解析式即可解决问题．

解：（1）将A（1，0）、C（0，3）代入抛物线y＝ax2＋bx3a中，

得 ，

解得

∴y＝x22x3；

（2）将点D（m，m1）代入y＝x22x3中，得

m22m3＝m1，

解得m＝2或1，

∵点D（m，m1）在第四象限，

∴D（2，3），

∵直线BC解析式为y＝x3，

∴∠BCD＝∠BCO＝45°，CD′＝CD＝2，OD′＝32＝1，

∴点D关于直线BC对称的点D'（0，1）；

（3）存在．满足条件的点P有两个．

①过点C作CP∥BD，交x轴于P，则∠PCB＝∠CBD，

∵直线BD解析式为y＝3x9，

∵直线CP过点C，

∴直线CP的解析式为y＝3x3，

∴点P坐标（1，0），

②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于P′，

∴∠P′CB＝∠D′BC，

根据对称性可知∠D′BC＝∠CBD，

∴∠P′CB＝∠CBD，

∵直线BD′的解析式为

∵直线CP′过点C，

∴直线CP′解析式为，

∴P′坐标为（9，0），

综上所述，满足条件的点P坐标为（1，0）或（9，0）．