Question

11．如图1，正方形ABCD中，点E是CD的延长线上一点，将△ADE沿AE对折至△AFE，FE的延长线与BC的延长线交于点G，连接AG．
（1）求证：AG平分∠FAB；
（2）如图2，GB的延长线交FA的延长线于点H，试探究线段DE、AH、BH三者之间的数量关系；
（3）在（2）的条件填空：∠GAE=45°度；若DC=2DE，则$\frac{BH}{CG}$=$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的判定定理即可判定．
（2）如图2中，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，只要证明∠HAM=∠AMH即可得到AH=HM由此即可解决问题．
（3）如图2中，①只要证明△AGE≌△AGM即可，②设正方形ABCD边长为2a，则CE=3a，BM=DE=a，AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，设AH=HM=x，在RT△AHB中利用勾股定理求出x与a的关系，再利用△ABH∽△GCE得$\frac{AB}{CG}$=$\frac{HB}{EC}$求出CG即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠B=∠ADC=∠ADE=90°，
∵△AEF是由△AED翻折得到，
∴AF=AD，∠F=∠ADE=90°，
∴AF⊥CF，AB⊥BG，AF=AB，
∴AG平分∠BGF．
（2）如图2中，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，
∵∠ADE=∠ABM=90°，
∴点M在线段BC上，DE=BM，
∵∠EAM=90°，
∴∠EAF+∠HAM=90°，
∵∠EAD+∠DAM=90°，
∴∠HAM=∠DAM，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠AMH，
∴∠HAM=∠AMH，
∴AH=HM=BH+BM=BH+DE．
（3）①如图2中，在△AGF和△AGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGF=∠AGB}\\{∠F=∠ABC=90°}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△AGB，
∴GF=GB，
∵EF=ED=BM，
∴GE=GM，
在△AGE和△AGM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{GE=GM}\\{AE=AM}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△AGM，
∴∠GAE=∠GAM=45°
②设正方形ABCD边长为2a，则CE=3a，BM=DE=a，AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，设AH=HM=x，
在RT△AHB中，∵AH²=AB²+HB²，
∴x²=4a²+（x-a）²，
∴x=$\frac{5}{2}$a，
∴BH=$\frac{3}{2}$a，
∵∠HAB+∠FAB=180°，∠FAB+∠EGC=180°，
∴∠HAB=∠EGC，
∵∠ABH=∠ECG=90°，
∴△ABH∽△GCE，
∴$\frac{AB}{CG}$=$\frac{HB}{EC}$，
∴$\frac{2a}{CG}$=$\frac{\frac{3}{2}a}{3a}$，
∴CG=4a，
∴$\frac{BH}{CG}$=$\frac{\frac{3}{2}a}{4a}$=$\frac{3}{8}$．
故答案分别为45°，$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线构造全等三角形，最后一个填空比较难，需要学会设参数解决问题，属于中考压轴题．