Question

如图，抛物线的顶点坐标是A（1，4），且经过点B（-

3

2

，-

9

4

），与横轴交于C，D两点（点C在点D的左边）
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AD，判断AD与BD的位置关系，并说明理由；
（3）设点P是直线BD上方且位于抛物线上的一动点，过点P作PQ∥AD交直线BD于点Q，求PQ的最大值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）²+4，将点B的坐标代入可得a的值，继而可确定抛物线的解析式；
（2）分别求出AB、BD、AD的长度，利用勾股定理的逆定理可判断AD⊥BD；
（3）过点A作AE∥y轴，交BD于点E，作PF∥y轴，交BD于点F，先求出cos∠EAD，设点P的坐标为（x，-x²+2x+3），表示出PF，继而在Rt△PQF中，可表示出PQ，利用配方法求解最值即可．

解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）²+4，
将点B的坐标代入可得：-

9

4

=a（-

3

2

-1）²+4，
解得：a=-1，
故抛物线解析式为：y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；

（2）令y=0，则-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴C的坐标为（-1，0），D的坐标为（3，0），
则AD=

(1-3)2+(4-0)2

=2

5

，BD=

(- 3 2 -3)2+(- 9 4 -0)2

=

9 5

4

，AB=

(- 3 2 -1)2+(- 9 4 -4)2

=

5 29

4

，
∵AD²+BD²=AB²，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BD；

（3）设直线BD的解析式为y=kx+b，
将B、D的坐标代入可得：

- 3 2 k+b=- 9 4 3k+b=0

，
解得：

k= 1 2 b=- 3 2

，
则直线BD的解析式为y=

1

2

x-

3

2

，
过点A作AE∥y轴，交BD于点E，作PF∥y轴，交BD于点F，

则点E的坐标为（1，-1），AE=5，cos∠EAD=

AD

AE

=

2 5

5

，
设点P的坐标为（x，-x²+2x+3），则点F的坐标为（x，

1

2

x-

3

2

），PF=-x²+2x+3-（

1

2

x-

3

2

）=-x²+

3

2

x+

9

2

，
在Rt△PFQ中，PQ=PFcos∠FPQ=PFcos∠EAD
=

2 5

5

（-x²+

3

2

x+

9

2

）
=-

5

5

（2x²-3x-9）
=-

5

5

（2x²-3x）+

9 5

5

=-

2 5

5

（x-

3

4

）²+

81 5

40

，
当x=

3

4

时，PQ取得最大，最大值为

81 5

40

．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求抛物线解析式、勾股定理的逆定理及配方法求二次函数的最值，综合考察的知识点较多，解答本题注意数形结合思想的运算．