Question

如图，直角梯形OABC，A（7，0），C（0，4），AB=5，动点P以每秒1个单位的速度沿C-O-A的折线运动，直线MQ始终与x轴垂直，且同时从点A出发，以每秒1个单位的速度沿A-O平移，与折线ABC交于点Q，与x轴交于点M，P、M中有一个到达终点，另一个随即而停止，运动的时间为t（秒）
（1）求：点B的坐标；
（2）设△CPQ的面积为S，求：S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若动线段PQ的中点N的坐标为（x，y），在0≤t≤3范围内求出y与x的函数关系式和动点N走过的路程．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）作BD⊥OA，垂足为点D，由勾股定理求得AD的长，直接写出点B的坐标；
（2）分情况探讨△CPQ的面积：点P在CO上运动和点P在OA上运动，分别用用t表示三角形的面积求出答案；
（3）求出过AB两点的直线，进一步用t和中点坐标表示出（x，y），求出y与x的函数关系式，再进一步利用勾股定理解决问题．

解答：解：（1）如图，作BD⊥OA，垂足为点D，

由C（0，4）可知BD=4，
AD=

52-42

=3，
∴OD=4，
点B坐标为（4，4）．
（2）分两种情况探讨，
①当P在CO上运动，如图

0＜t≤4时，
S_△CPQ=

1

2

t（7-t）
=-

1

2

（t-

7

2

）²+

49

8

；
△CPQ的面积最大为

49

8

．
②当P在AO上运动，如图
S=

1

2

（7-t）•4=-2t+

7

2

高为4，当t=3时，
△CPQ的面积最大，
S_△CPQ=

1

2

×4×3=6；
由以上可知△CPQ的面积最大为

49

8

．
（3）如图

作AD⊥CB的延长线于D，
∵A（7，0），C（0，4），AB=5
∴AD=4
∴BD=

AB2-AD2

=3
∴B（4，4）
根据A（7，0），B（4，4）可求出直线AB的解析式为：y=-

4

3

x+

28

3

又0≤t≤3，
∴PQ的运动范围在AB之间且从点A出发以每秒1个单位的速度沿AO平移
∴在t时AM=t
∴M（7-t，0）
将x=7-t代入y=-

4

3

x+

28

3

解得：y=

4

3

t
∴Q（7-t，

4

3

t）
在t时，CP=t
∴P（0，4-t）
设PQ的中点N的坐标为（x，y），则有：
x=

7-t+0

2

，得t=7-2x（2≤x≤

7

2

）
y=

4 3 t+4-t

2

，得t=6y-12；
∴7-2x=6y-12
整理后得：y=-

1

3

x+

19

6

（2≤x≤

7

2

）；
当t=0时x=

7

2

，y=2；
当t=3时x=2，y=

5

2

∴动点N走过的路程=

(2- 7 2 )2+( 5 2 -2)2

=

10

2

．

点评：此题综合考查了一次函数、勾股定理以及求中点坐标的运用来解决一次函数的动点问题．