Question

【题目】如图，已知关于的一元二次函数（）的图象与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，顶点为．

⑴ 求出一元二次函数的关系式；

⑵ 点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为．若，的面积为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；

⑶ 探索线段上是否存在点，使得为直角三角形，如果存在，求出的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（）；（3）P点坐标为：，.

【解析】

（1）可根据OB、OC的长得出B、C两点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．

（2）求出P点的坐标，据此可根据三角形的面积计算方法求出S与m的函数关系式．

（3）先根据抛物线的解析式求出M的坐标，进而可得出直线BM的解析式，以及P点纵坐标，即可得出符合条件的P点的坐标．

解：⑴、．

解得，

所以

⑵∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴．

设：，

则得所以．

所以，

（）

（3）∵若∠PDC是直角，则点C在x轴上，由函数图象可知点C在y轴的正半轴上，

∴∠PDC≠90°，
在△PCD中，当∠DPC=90°时，
当CP∥AB时，
∵PD⊥AB，
∴CP⊥PD，
∴PD=OC=3，
∴P点纵坐标为：3，代入y=-2x+6，

，此时P，

当∠P′CD′=90°时，△COD′∽△D′CP′，
此时CD′2=COP′D′，
即9+m2=3（-2m+6），
∴m2+6m-9=0，
解得：，

∵1≤m＜3，

，

，

综上所述：P点坐标为：，.