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【题目】在平面直角坐标系中,O为原点,点A(﹣2,0),点B(0,2),点E,点F分别为OA,OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转,得正方形OE′D′F′,记旋转角为α.
(Ⅰ)如图①,当α=90°时,求AE′,BF′的长;
(Ⅱ)如图②,当α=135°时,求证AE′=BF′,且AE′⊥BF′;
(Ⅲ)若直线AE′与直线BF′相交于点P,求点P的纵坐标的最大值(直接写出结果即可).

【答案】解:(Ⅰ)当α=90°时,点E′与点F重合,如图①.
∵点A(﹣2,0)点B(0,2),
∴OA=OB=2.
∵点E,点F分别为OA,OB的中点,
∴OE=OF=1
∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°得到的,
∴OE′=OE=1,OF′=OF=1.
在Rt△AE′O中,
AE′=
在Rt△BOF′中,
BF′=
∴AE′,BF′的长都等于
(Ⅱ)当α=135°时,如图②.

∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°所得,
∴∠AOE′=∠BOF′=135°.
在△AOE′和△BOF′中,

∴△AOE′≌△BOF′(SAS).
∴AE′=BF′,且∠OAE′=∠OBF′.
∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB,∠CAO=∠CBP,
∴∠CPB=∠AOC=90°
∴AE′⊥BF′.
(Ⅲ)∵∠BPA=∠BOA=90°,∴点P、B、A、O四点共圆,
∴当点P在劣弧OB上运动时,点P的纵坐标随着∠PAO的增大而增大.
∵OE′=1,∴点E′在以点O为圆心,1为半径的圆O上运动,
∴当AP与⊙O相切时,∠E′AO(即∠PAO)最大,
此时∠AE′O=90°,点D′与点P重合,点P的纵坐标达到最大.
过点P作PH⊥x轴,垂足为H,如图③所示.

∵∠AE′O=90°,E′O=1,AO=2,
∴∠E′AO=30°,AE′=
∴AP= +1.
∵∠AHP=90°,∠PAH=30°,
∴PH= AP=
∴点P的纵坐标的最大值为
【解析】(1)利用勾股定理即可求出AE′,BF′的长.(2)运用全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质就可解决问题.(3)首先找到使点P的纵坐标最大时点P的位置(点P与点D′重合时),然后运用勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点P的纵坐标的最大值.
【考点精析】认真审题,首先需要了解三角形的外角(三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫三角形的外角;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角),还要掌握含30度角的直角三角形(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半)的相关知识才是答题的关键.

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