【题目】在平面直角坐标系中,O为原点,点A(﹣2,0),点B(0,2),点E,点F分别为OA,OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转,得正方形OE′D′F′,记旋转角为α.
(Ⅰ)如图①,当α=90°时,求AE′,BF′的长;
(Ⅱ)如图②,当α=135°时,求证AE′=BF′,且AE′⊥BF′;
(Ⅲ)若直线AE′与直线BF′相交于点P,求点P的纵坐标的最大值(直接写出结果即可).
【答案】解:(Ⅰ)当α=90°时,点E′与点F重合,如图①.
∵点A(﹣2,0)点B(0,2),
∴OA=OB=2.
∵点E,点F分别为OA,OB的中点,
∴OE=OF=1
∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°得到的,
∴OE′=OE=1,OF′=OF=1.
在Rt△AE′O中,
AE′= .
在Rt△BOF′中,
BF′= .
∴AE′,BF′的长都等于 .
(Ⅱ)当α=135°时,如图②.
∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°所得,
∴∠AOE′=∠BOF′=135°.
在△AOE′和△BOF′中,
,
∴△AOE′≌△BOF′(SAS).
∴AE′=BF′,且∠OAE′=∠OBF′.
∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB,∠CAO=∠CBP,
∴∠CPB=∠AOC=90°
∴AE′⊥BF′.
(Ⅲ)∵∠BPA=∠BOA=90°,∴点P、B、A、O四点共圆,
∴当点P在劣弧OB上运动时,点P的纵坐标随着∠PAO的增大而增大.
∵OE′=1,∴点E′在以点O为圆心,1为半径的圆O上运动,
∴当AP与⊙O相切时,∠E′AO(即∠PAO)最大,
此时∠AE′O=90°,点D′与点P重合,点P的纵坐标达到最大.
过点P作PH⊥x轴,垂足为H,如图③所示.
∵∠AE′O=90°,E′O=1,AO=2,
∴∠E′AO=30°,AE′= .
∴AP= +1.
∵∠AHP=90°,∠PAH=30°,
∴PH= AP= .
∴点P的纵坐标的最大值为 .
【解析】(1)利用勾股定理即可求出AE′,BF′的长.(2)运用全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质就可解决问题.(3)首先找到使点P的纵坐标最大时点P的位置(点P与点D′重合时),然后运用勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点P的纵坐标的最大值.
【考点精析】认真审题,首先需要了解三角形的外角(三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫三角形的外角;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角),还要掌握含30度角的直角三角形(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半)的相关知识才是答题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为了丰富学生课外小组活动,培养学生动手操作能力,王老师让学生把5m长的彩绳截成2m或1m的彩绳,用来做手工编织,在不造成浪费的前提下,你有几种不同的截法( )
A.1
B.2
C.3
D.4
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB,其正前方矗立着一大型广告牌,当阳光与水平线成45°角时,测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米,落在广告牌上的影子CD的长为4米,求铁塔AB的高(AB,CD均与水平面垂直,结果保留根号).
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在一张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论: ①四边形CFHE是菱形;②线段BF的取值范围为3≤BF≤4;
③EC平分∠DCH;④当点H与点A重合时,EF=2
以上结论中,你认为正确的有 . (填序号)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某网店打出促销广告:最潮新款服装50件,每件售价300元,若一次性购买不超过10件时,售价不变;若一次性购买超过10件时,每多买1件,所买的每件服装的售价均降低2元.已知该服装成本是每件200元,设顾客一次性购买服装x件时,该网店从中获利y元.
(1)求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)顾客一次性购买多少件时,该网店从中获利最多?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为增强学生的身体素质,教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时.为了解学生参加户外活动的情况,对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查,并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)一共调查了多少名学生;
(2)请补全条形统计图;
(3)若该校共有6000名学生,根据以上调查结果估计该校全体学生每天参与户外活动所用的总时间.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com