Question

【题目】如图，△ABC中AC=BC，点D，E在AB边上，连接CD，CE．

(1)如图1，如果∠ACB=90°，把线段CD逆时针旋转90°，得到线段CF，连接BF，

①求证：△ACD≌△BCF；

②若∠DCE=45°， 求证：DE2=AD2+BE2；

(2)如图2，如果∠ACB=60°，∠DCE=30°，用等式表示AD，DE，BE三条线段的数量关系，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE2= EB2+AD2+EB·AD，证明详见解析

【解析】

（1）①根据旋转的性质可得CF=CD，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明△ACD≌△BCF；

②连接EF，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE≌△FCE得到EF=DE即可证明；

（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD，DE，BE之间的关系．

解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD，∠DCF=90°

∵∠ACD=90°

∴∠ACD=∠BCF

又∵AC=BC

∴△ACD≌△BCF

②证明：连接EF，

由①知△ACD≌△BCF

∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD，BF=AD

∴∠EBF=90°

∴EF2=BE2+BF2，

∴EF2=BE2+AD2

又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°

∴∠FCE=∠DCE=45°

又∵CD=CF，CE=CE

∴△DCE≌△FCE

∴EF=DE

∴DE2= AD2+BE2

⑵DE2= EB2+AD2+EB·AD

理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接EF，

∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD

∵AC=BC，∠ACB=60°

∴∠CAB=∠CBA =60°

∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°

∴BG=BF，FG=BF

∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，

∴∠ACD+∠BCE=30°，

∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°

∵CD=CF，CE=CE

∴△ECF≌△ECD

∴EF=ED

在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2

又∵EG=EB+BG

∴EG=EB+BF，

∴EF2=（EB+BF）2+（BF）2

∴DE2= （EB+AD）2+（AD）2

∴DE2= EB2+AD2+EB·AD