Question

已知p²-2p-5=0，5q²+2q-1=0，其中p，q为实数，且p≠

1

q

，求p²+

1

q2

的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：计算题

分析：由5q²+2q-1=0变形得到（

1

q

）²-2•

1

q

-5=0，加上p²-2p-5=0，p≠

1

q

，则可把p和

1

q

看作方程x²-2x-5=0的两实数解，根据根与系数的关系得到p+

1

q

=2，p•

1

q

=-5，再利用完全平方公式变形得p²+

1

q2

=（p+

1

q

）²-2p•

1

q

，然后利用整体代入的方法计算即可．

解答：解：∵5q²+2q-1=0，
∴（

1

q

）²-2•

1

q

-5=0，
而p²-2p-5=0，p≠

1

q

，
∴p和

1

q

可看作方程x²-2x-5=0的两实数解，
∴p+

1

q

=2，p•

1

q

=-5，
∴p²+

1

q2

=（p+

1

q

）²-2p•

1

q

=（-2）²-2×（-5）=14．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．