Question

17．如图，P是正方形ABCD外一点，PA=$\sqrt{2}$，PB=4，则PD长度的最大值为6．

Answer 1

分析 过A作AE⊥AP，使E、B在AP的两侧，使AE=PA=$\sqrt{2}$，根据等腰直角三角形的性质得到PE=2，由四边形ABCD是正方形，得到∠BAD=90°，AB=AD． 根据余角的性质得到∠BAE=∠DAP，推出△BAE≌△DAP，根据全等三角形的性质得到BE=PD，由三角形的三边关系得到BE≤PB+PE=4+2=6，即可得到结论．

解答 解：过A作AE⊥AP，使E、B在AP的两侧，使AE=PA=$\sqrt{2}$，
∴PE=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠PAE+∠PAB=∠BAD=∠PAB=90°+∠PAB，
∴∠BAE=∠DAP．
在△ADP与△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠PAD=∠EAB}\\{AP=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAP，
∴BE=PD，
∵BE≤PB+PE=4+2=6，
∴当点P落在线段BE上时，BE有最大值为6，
∴PD长度的最大值为6．
故答案为：6．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．