【题目】如图,是某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的和距离都是1m,拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯,建立适当坐标系.
(1)求抛物线的解析式.
(2)求两盏景观灯之间的水平距离.
【答案】(1)y=﹣(x﹣5)2+5(0≤x≤10);(2)5m.
【解析】整体分析:
(1)建立坐标系后,确定抛物线的顶点坐标,设解析式为y=a(x﹣5)2+5,把点(0,1)代入求a;(2)根据两盏景观灯的纵坐标是4,列方程求横坐标.
(1)根据题意建立坐标系,如图所示:
抛物线的顶点坐标为(5,5),与y轴交点坐标是(0,1),
设抛物线的解析式是y=a(x﹣5)2+5,
把(0,1)代入y=a(x﹣5)2+5,
得a=﹣,
∴y=﹣ (x﹣5)2+5(0≤x≤10);
(2)由已知得两景观灯的纵坐标都是4,
∴4=﹣ (x﹣5)2+5,
∴ (x﹣5)2=1,
∴x1=,x2=.
∴﹣=5.
所以两景观灯之间的水平距离为5米.
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【题目】设二次函数y1,y2的图象的顶点分别为(a,b)、(c,d),当a=﹣c,b=2d,且开口方向相同时,则称y1是y2的“反倍顶二次函数”.
(1)请写出二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”;
(2)已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=nx2+x,函数y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍顶二次函数”,求n.
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【题目】如图1,P点从点A开始以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移动,点Q从点C开始以1厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移动,在直角三角形ABC中,∠A=90°,若AB=16厘米,AC=12厘米,BC=20厘米,如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动时间,那么:
(1)如图1,若P在线段AB上运动,Q在线段CA上运动,试求出t为何值时,QA=AP
(2)如图2,点Q在CA上运动,试求出t为何值时,三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的;
(3)如图3,当P点到达C点时,P、Q两点都停止运动,试求当t为何值时,线段AQ的长度等于线段BP的长的
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【题目】在平面直角坐标系中,过点、分别作轴的垂线,垂足分别为、.
(1)求直线和直线的解析式;
(2)点为直线上的一个动点,过作轴的垂线交直线于点,是否存在这样的点,使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求此时点的横坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若沿方向平移(点在线段上,且不与点重合),在平移的过程中,设平移距离为,与重叠部分的面积记为,试求与的函数关系式.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点D是△ABC内一点,AD=BD,且AD⊥BD,连接CD.过点C作CE⊥BC交AD的延长线于点 E,连接BE.过点D作DF⊥CD交BC于点F.
(1)若BD=DE=,CE=,求BC的长;
(2)若BD=DE,求证:BF=CF.
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【题目】计算:
(1)5-3+4-
(2)(--)×(-36)
(3)-―(1―0.5)÷×[2+(-4)2]
(4)(-)×52÷|-|+()2019×42020
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【题目】已知点,线段.
(1)如图,若点在线段上,且,,点、分别是、的中点,则线段的长度是 ;
(2)若把(1)中点在线段上,且,,改为点是线段上任意一点,且,,其他条件不变,请求出线段的长度(用含、的式子表示);
(3)若把(2)中点是线段上任意一点,改为点是直线上任意一点,其他条件不变,则线段的长度会变化吗?若有变化,求出结果.
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【题目】如图,四边形ABCD中,AD//BC,AD=AB=2,∠B=120°,∠ADC=150°,现以对角线AC为边向点D一侧作等边△ACE,则四边形ABCE的面积=______.
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【题目】用如图所示矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形(阴影部分).并制成一个长方体纸盒。
(1)用a,b,x表示纸片剩余部分的面积和纸盒的底面积;
(2)当a=6,b=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,求正方形的边长.
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