Question

如图1，在正方形ABCD中，E是BC边上的动点（点E不与端点B、C重合），以AE为边，在直线BC的上方作矩形AEFG．使顶点G恰好落在射线CD上，过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H．
（1）求证：①矩形AEFG是正方形；②BE=HC；
（2）若题设中动点E在BC的延长线上，其他条件不变，请在图2中补全图形，猜想（1）中的两个结论是否成立，请直接写出结论，不需要证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的判定与性质

专题：

分析：（1）①证明△ABE≌△ADG，即可解决问题．
②证明△AEB≌△EFH，得到AB=EH，借助AB=BC，即可解决问题．
（2）补全图2如图所示，（1）中的两个结论仍然成立．

解答：解：（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=∠ADC
=∠ADG=90°；
∵四边形AEFG是矩形，
∴∠EAG=90°，
∴∠BAD=∠EAG=90°．
∴∠BAD-∠EAD=∠EAG-∠EAD，
即∠BAE=∠DAG；
在△ABE与△ADG中，

∠BAE=∠DAG AD=AD ∠ABE=∠ADG

，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG．
∴矩形AEFG是正方形．         
②∵矩形AEFG是正方形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°；
又∵∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠EAB=∠FEH．
在△AEB与△EFH中，

∠EAB=∠FEB ∠B=∠H AE=EF

，
∴△AEB≌△EFH（AAS），
∴AB=EH．
∵AB=BC，
∴BC=EH．
∵BC=BE+EC，EH=HC+EC，
∴BE=HC．
（2）补全图2如图所示：（1）中的两个结论仍然成立．

点评：该题以正方形为载体，以考查正方形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；牢固掌握正方形的性质、全等三角形的判定及其性质是灵活运用的基础和关键．