如图1,在平面直角坐标系xOy中,点M为抛物线的顶点,过点(0,4)作x轴的平行线,交抛物线于点P、Q(点P在Q的左侧),PQ=4.
(1)求抛物线的函数关系式,并写出点P的坐标;
(2)小丽发现:将抛物线绕着点P旋转180°,所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O,你认为正确吗?请说明理由;
(3)如图2,已知点A(1,0),以PA为边作矩形PABC(点P、A、B、C按顺时针的方向排列),.
①写出C点的坐标:C( , )(坐标用含有t的代数式表示);
②若点C在题(2)中旋转后的新抛物线上,求t的值.
(1);(2,4);(2)正确,理由见解析;(3)①-4t+2,4+t;②.
解析试题分析:(1)把P的纵坐标代入抛物线的解析式得到关于x的方程,根据根与系数的关系求得和PQ=4,求得n的值,即可求得解析式.
(2)根据旋转的性质得到Q绕着点P旋转180°后的对称点为Q′(-2,4),得出新抛物线的对称轴是y轴,然后求得抛物线的顶点到直线PQ的距离为4,即可判断新抛物线顶点应为坐标原点.
(3)①根据三角形相似即可求得C的坐标:
如答图,过P作x轴的垂线,交x轴于M,过C作CN⊥MN于N,
∵,∴.
∵易得△APM∽△PCN,∴.
∵AM=2-1=1,PM=4,∴PN=t,CN=4t.
∴MN=4+t.
∴C(-4t+2,4+t),
②由(1)可知,旋转后的新抛物线是,新抛物线是过P(2,4),求得新抛物线的解析式,把C(-4t+2,4+t)代入即可求得t的值.
试题解析:解:(1)∵抛物线过点P,P点的纵坐标为4,
∴即.
∴.
∵PQ=4,∴,即,即.
∴,解得:n=4.
∴抛物线的函数关系式为:.
由解得x=2或x=6.
∴P(2,4).
(2)正确,理由如下:
∵P(2,4),PQ=4,∴Q绕着点P旋转180°后的对称点为Q′(-2,4).
∴P与Q′正好关于y轴对称.
∴所得新抛物线的对称轴是y轴,
∵抛物线,∴抛物线的顶点M(4,8).
∴顶点M到直线PQ的距离为4.
∴所得新抛物线顶点到直线PQ的距离为4.
∴所得新抛物线顶点应为坐标原点.
(3)①-4t+2,4+t.
②由(1)可知,旋转后的新抛物线是,
∵新抛物线过P(2,4),∴4=4a,解得a=1.
∴旋转后的新抛物线是.
∵C(-4t+2,4+t)在抛物线上,
∴,解得:t=0(舍去)或t=.
∴t=.
考点:1.二次函数综合题;2.线动旋转问题;3.曲线上点的坐标与方程的关系;4.一元二次方程根与系数的关系;5.二次函数的性质;6. 旋转和轴对称的性质;7.方程思想的应用.
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
如图,一段抛物线 与轴交于点,;将向右平移得第2段抛物线,交轴于点;再将向右平移得第3段抛物线,交轴于点;又将向右平移得第4段抛物线,交轴于点,若在上,则的值是 .
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场,设围成的矩形一边长为x米,面积为y平方米.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)当x为何值时,围成的养鸡场面积为60平方米?
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场?如果能,请求出其边长;如果不能,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知抛物线图象经过A(-1,0),B(4,0)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若C(m,m-1)是抛物线上位于第一象限内的点,D是线段AB上的一个动点(不与A、B重合),过点D分别作DE∥BC交AC于E,DF∥AC交BC于F.
①求证:四边形DECF是矩形;
②连结EF,线段EF的长是否存在最小值?若存在,求出EF的最小值;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,在直角坐标平面内,直线与轴和轴分别交于A、B两点,二次函数的图象经过点A、B,且顶点为C.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求的值;
(3)若P是这个二次函数图象上位于轴下方的一点,且ABP的面积为10,求点P的坐标.
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在平面直角坐标系xOy中(O为坐标原点),已知抛物线y=x2+bx+c过点A(4,0),B(1,﹣3).
(1)求b,c的值,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)设抛物线的对称轴为直线l,点P(m,n)是抛物线上在第一象限的点,点E与点P关于直线l对称,点E与点F关于y轴对称,若四边形OAPF的面积为48,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,设M是直线l上任意一点,试判断MP+MA是否存在最小值?若存在,求出这个最小值及相应的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,抛物线:y=ax2+bx+4与x轴交于点A(-2,0)和B(4,0)、与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)T是抛物线对称轴上的一点,且△ACT是以AC为底的等腰三角形,求点T的坐标;
(3)点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行.当点M原点时,点Q立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动,当点M到达抛物线的对称轴时,两点停止运动.过点M的直线l⊥轴,交AC或BC于点P.求点M的运动时间t(秒)与△APQ的面积S的函数关系式,并求出S的最大值.
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如图①,已知等腰梯形ABCD的周长为48,面积为S,AB∥CD,∠ADC=60°,设AB=3x.
(1)用x表示AD和CD;
(2)用x表示S,并求S的最大值;
(3)如图②,当S取最大值时,等腰梯形ABCD的四个顶点都在⊙O上,点E和点F分别是AB和CD的中点,求⊙O的半径R的值.
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如图,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于A、B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为-8.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为C,交直线AB于点D,作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为l,点P的横坐标为x,求l关于x的函数关系式,并求出l的最大值;
②连接PA,以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时,直接写出对应的点P的坐标.
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