Question

12．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（-1，2）（见图1），且|a+2|+（b-3）²=0
（1）求a、b的值；
（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积，求出点M的坐标；
②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；
（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上的一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，$\frac{∠OPD}{∠DOE}$的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质得a+2=0，b-3=0，然后解一次方程即可得到a与b的值；
（2）①设M（t，0），根据三角形面积公式可计算出S_△ABC=5，由于△COM的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积，则$\frac{1}{2}$•t•2=$\frac{1}{2}$×5，然后解方程求出t即可得到M点坐标；
②分类讨论：当M点在x轴的负半轴上时，易得M点坐标为（-$\frac{5}{2}$，0）；当M点在y轴的轴上时，设M点坐标为（0，m），根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•|m|•1=$\frac{1}{2}$×5，然后解方程求出t即可得到M点坐标；
（3）如图2，由OE平分∠AOP得到∠AOE=∠POE=∠1+∠2，根据垂直的定义得到∠1+∠2+∠3=90°，∠4+∠AOE=90°，于是得到∠3=∠4，接着证明CD∥AB，利用平行线的性质得∠OPD=∠POB=2∠3，
然后利用∠1+∠2+∠3=90°，∠2+∠3+∠4=90°可得∠1=∠3，则可计算出$\frac{∠OPD}{∠DOE}$=2．

解答 解：（1）∵|a+2|+（b-3）²=0
∴a+2=0，b-3=0，
∴a=-2，b=3；
（2）①设M（t，0），
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（3+2）×2=5，
∵△COM的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积，
∴$\frac{1}{2}$•t•2=$\frac{1}{2}$×5，解得t=$\frac{5}{2}$，
∴M点坐标为（$\frac{5}{2}$，0）；
②当M点在x轴的负半轴上时，M点坐标为（-$\frac{5}{2}$，0）；
当M点在y轴的轴上时，设M点坐标为（0，m），则$\frac{1}{2}$•|m|•1=$\frac{1}{2}$×5，解得m=±5，此时M点坐标为（0，5）或（0，-5）；
（3）$\frac{∠OPD}{∠DOE}$的值不会改变．
如图2，
∵OE平分∠AOP，
∴∠AOE=∠POE=∠1+∠2，
∵OF⊥OE，
∴∠1+∠2+∠3=90°，∠4+∠AOE=90°，
∴∠3=∠4，
∵CD⊥y轴，
∴CD∥AB，
∴∠OPD=∠POB=2∠3，
∵∠1+∠2+∠3=90°，∠2+∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2+∠3=∠2+2∠3，
∴∠1=∠3，
∴$\frac{∠OPD}{∠DOE}$=$\frac{2∠3}{∠1}$=2．

点评 本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；记住特殊位置点的坐标特征．也考查了三角形面积公式和平行线的性质．