Question

3．如图点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C．若AB是⊙O的直径，D是BC的中点，过D作AC的垂线，垂足为F．
（1）求证：DF是圆O的切线；
（2）若AE：AO=6：5，DF=2，求圆O的直径．

Answer 1

分析 （1）连结AD、OD，如图，先证明OD为△BAC的中位线，根据三角形中位线性质得OD∥AC，由于DF⊥AC，则OD⊥DF，于是根据切线的判定定理得DF是圆O的切线；
（2）作OH⊥AE于H，如图，易得四边形OHFD为矩形，得到OH=DF=2，设AE=6x，则AO=5x，根据垂径定理得到AH=EH=$\frac{1}{2}$AE=3x，在Rt△AOH中利用勾股定理得到OH=4x，则4x=2，解得x=$\frac{1}{2}$，然后计算10x即可．

解答 （1）证明：连结AD、OD，如图，
∵D是BC的中点，
而OA=OB，
∴OD为△BAC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是圆O的切线；
（2）解：作OH⊥AE于H，如图，则四边形OHFD为矩形，
∴OH=DF=2，
∵AE：AO=6：5，
∴设AE=6x，AO=5x，
∵OH⊥AE，
∴AH=EH=$\frac{1}{2}$AE=3x，
在Rt△AOH中，∵OA=5x，AH=3x，
∴OH=$\sqrt{O{A}^{2}-A{H}^{2}}$=4x，
∴4x=2，解得x=$\frac{1}{2}$，
∴AB=2OA=10x=5，
即圆O的直径为5．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理．