【题目】定义:底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形.
如图,已知△ABC中,AC=BC,∠C=36°,BA1平分∠ABC交AC于A1 .
(1)证明:AB2=AA1AC;
(2)探究:△ABC是否为黄金等腰三角形?请说明理由;(提示:此处不妨设AC=1)
(3)应用:已知AC=a,作A1B1∥AB交BC于B1 , B1A2平分∠A1B1C交AC于A2 , 作A2B2∥AB交B2 , B2A3平分∠A2B2C交AC于A3 , 作A3B3∥AB交BC于B3 , …,依此规律操作下去,用含a,n的代数式表示An﹣1An . (n为大于1的整数,直接回答,不必说明理由)
【答案】
(1)
证明:∵AC=BC,∠C=36°,
∴∠A=∠ABC=72°,
∵BA1平分∠ABC,
∴∠ABA1=∠ABC=36°,
∴∠C=∠ABA1,
又∵∠A=∠A,
∴△ABC∽△AA1B,
∴=,即AB2=AA1AC;
(2)
解:△ABC是黄金等腰三角形,
理由:由(1)知,AB2=ACAA1,
设AC=1,
∴AB2=AA1,
又由(1)可得:AB=A1B,
∵∠A1BC=∠C=36°,
∴A1B=A1C,
∴AB=A1C,
∴AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=1﹣AB,
∴AB2=1﹣AB,
设AB=x,即x2=1﹣x,
∴x2+x﹣1=0,
解得:x1=,x2=(不合题意舍去),
∴AB=,
又∵AC=1,
∴=,
∴△ABC是黄金等腰三角形;
(3)
解:由(2)得;当AC=a,则AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=a﹣AB=a﹣a=a,
同理可得:A1A2=A1C﹣A1B1=AC﹣AA1﹣A1B1
=a﹣a﹣A1C
=a﹣a﹣[a﹣a]
=a.
故An﹣1An=a.
【解析】
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【题目】为了参加中考体育测试,甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练,球从一个人脚下随机传到另一个人脚下,且每位传球人传给其余两人的机会是均等的,由甲开始传球,共传球三次.
(1)请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况;
(2)求三次传球后,球回到甲脚下的概率;
(3)三次传球后,球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A(2,n),B(m,n)(m>2),D(p,q)(q<n),点B,D在直线y=x+1上.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,且AB∥CD,CD=4,BE=DE,△AEB的面积是2.
求证:四边形ABCD是矩形.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,M,N分别是边AB,BC的中点,MP⊥AB交边CD于点P,连接NM,NP.
(1)若∠B=60°,这时点P与点C重合,则∠NMP= 度
(2)求证:NM=NP
(3)当△NPC为等腰三角形时,求∠B的度数
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【题目】如图,已知线段AB=18米,于点A,MA=6米,射线于点B,P点从B点出发向A运动,每秒走1米,Q点从B点向D点运动,每秒走2米,P,Q同时从B出发,则出发x秒后,在线段MA上有一点C,使△CAP与△PBQ全等,则x的值为( )
A. 4 B. 6 C. 4或9 D. 6或9
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【题目】尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中,连当年叱咤风云的拿破仑也不例外,我们可以只用圆规将圆等分.例如可将圆6等分,如图只需在⊙O上任取点A,从点A开始,以⊙O的半径为半径,在⊙O上依次截取点B,C,D,E,F.从而点A,B,C,D,E,F把⊙O六等分.下列可以只用圆规等分的是( ) ①两等分 ②三等分 ③四等分 ④五等分.
A.②
B.①②
C.①②③
D.①②③④
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【题目】学习了三角形全等的判定方法和直角三角形全等的判定方法后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情况进行研究.
(初步思考)我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,,然后,对进行分类,可分为“是直角,钝角,锐角”三种情况进行探索.
(深入探究)(1)当是直角时,如图①,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,,根据 可以知道.
(2)当是钝角时,如图②,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,,且都是钝角,求证:.
(3)当是锐角时,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,,且都是锐角,请你用尺规在图③中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等(不写做法,保留作图痕迹)
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【题目】如图,正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG,EF与AD相交于点H,延长DA交GF于点K.若正方形ABCD边长为 ,则HD的长为 .
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【题目】如图,矩形纸片ABCD中,G、F分别为AD、BC的中点,将纸片折叠,使D点落在GF上,得到△HAE , 再过H点折叠纸片,使B点落在直线AB上,折痕为PQ.连接AF、EF , 已知HE=HF.下列结论:①△MEH为等边三角形;②AE⊥EF;③△PHE∽△HAE;④ ,
其中正确的结论是
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
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