Question

【题目】旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．

已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E在边BC上，且∠DAE＝α．

（1）如图1，当α＝60°时，将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置，连接DF，

①求∠DAF的度数；

②求证：△ADE≌△ADF；

（2）如图2，当α＝90°时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，当α＝120°，BD＝4，CE＝5时，请直接写出DE的长为　 　．

Answer 1

【答案】（1）①30°②见解析（2）BD2+CE2＝DE2（3）

【解析】

（1）①利用旋转的性质得出∠FAB=∠CAE，再用角的和即可得出结论；②利用SAS判断出△ADE≌△ADF，即可得出结论；

（2）先判断出BF=CE，∠ABF=∠ACB，再判断出∠DBF=90°，即可得出结论；

（3）同（2）的方法判断出∠DBF=60°，再用含30度角的直角三角形求出BM，FM，最后用勾股定理即可得出结论．

解：（1）①由旋转得，∠FAB＝∠CAE，

∵∠BAD+∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣30°＝30°，

∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝∠BAD+∠CAE＝30°；

②由旋转知，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，

∴∠BAF+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝∠DAE，

在△ADE和△ADF中，，

∴△ADE≌△ADF（SAS）；

（2）BD2+CE2＝DE2，

理由：如图2，将△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB的位置，连接DF，

∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACB，

由（1）知，△ADE≌△ADF，

∴DE＝DF，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∴∠DBF＝∠ABC+∠ABF＝∠ABC+∠ACB＝90°，

根据勾股定理得，BD2+BF2＝DF2，

即：BD2+CE2＝DE2；

（3）如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB的位置，连接DF，

∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACB，

由（1）知，△ADE≌△ADF，

∴DE＝DF，BF＝CE＝5，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝30°，

∴∠DBF＝∠ABC+∠ABF＝∠ABC+∠ACB＝60°，

过点F作FM⊥BC于M，

在Rt△BMF中，∠BFM＝90°﹣∠DBF＝30°，

BF＝5，

∴，

∵BD＝4，

∴DM＝BD﹣BM＝，

根据勾股定理得， ，

∴DE＝DF＝，

故答案为．