Question

已知：三点A（a，1）、B（3，1）、C（6，0），点A在正比例函数y=

1

2

x的图象上．
（1）求a的值；
（2）点P为x轴上一动点．
①当△OAP与△CBP周长的和取得最小值时，求点P的坐标；
②当∠APB=20°时，求∠OAP+∠PBC的度数．

Answer 1

（1）∵点A（a，1）在正比例函数y=

1

2

x的图象上，
∴a=2．
（2）①如图①，作点A关于x轴对称点A′，可得A′（2，-1）．
连接A′B交x轴于点P．

设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），可得此直线的解析式为y=2x-5．
当y=0时，x=2.5．
当AP+BP取得最小值时，可得△OAP与△CBP周长的和取得最小值，此时点P的坐标为（2.5，0）．
②如图②，设AA′交x轴于点K．连接OA′、OB、AB，作BM⊥OC于M．

∵A′K=AK=AB=1，∠OKA′=∠A′AB=90°，OK=AA′=2，
∴△OKA′≌△A′AB．（4分）
∴OA′=A′B，∠OA′K=∠ABA′．
∵在Rt△AA′B中，
∠ABA′+∠AA′B=90°，
∴∠OA′B=90°．
∴△OA′B为等腰直角三角形．
∴∠BOA′=∠BOC+∠A′OC=45°．
∵BM⊥OC，OM=MC=3，
∴OB=BC．
∴∠BOC=∠BCO．
∵∠AOC=∠A′OC，
∴∠AOC+∠BCO=45°．
如图③，当∠APB=20°时，
∠OAP+∠PBC
=360°-（∠AOC+∠BCO）-（∠APO+∠BPC）
=360°-45°-（180°-20°）=155°．