Question

【题目】如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．

（1）求∠FDE的度数；
（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；
（3）当G为线段DC的中点时，
①求证：FD=FI；
②设AC=2m，BD=2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵EF是⊙O的直径，∴∠FDE=90°；

（2）

解：四边形FACD是平行四边形．

理由如下：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，

∴∠AEB=90°．

又∵∠FDE=90°，

∴∠AEB=∠FDE，

∴AC∥DF，

∴四边形FACD是平行四边形；

（3）

解：①连接GE，如图．

∵四边形ABCD是菱形，∴点E为AC中点．

∵G为线段DC的中点，∴GE∥DA，

∴∠FHI=∠FGE．

∵EF是⊙O的直径，∴∠FGE=90°，

∴∠FHI=90°．

∵∠DEC=∠AEB=90°，G为线段DC的中点，

∴DG=GE，

∴=，

∴∠1=∠2．

∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，

∴∠3=∠4，

∴FD=FI；

②∵AC∥DF，∴∠3=∠6．

∵∠4=∠5，∠3=∠4，

∴∠5=∠6，∴EI=EA．

∵四边形ABCD是菱形，四边形FACD是平行四边形，

∴DE=BD=n，AE=AC=m，FD=AC=2m，

∴EF=FI+IE=FD+AE=3m．

在Rt△EDF中，根据勾股定理可得：

n2+（2m）2=（3m）2，

即n=m，

∴S⊙O=π（）2=πm2，S菱形ABCD=2m2n=2mn=m2，

∴S⊙O：S菱形ABCD=．

【解析】（1）根据直径所对的圆周角是直角即可得到∠FDE=90°；
（2）由四边形ABCD是菱形可得AB∥CD，要证四边形FACD是平行四边形，只需证明DF∥AC，只需证明∠AEB=∠FDE，由于∠FDE=90°，只需证明∠AEB=90°，根据四边形ABCD是菱形即可得到结论；
（3）①连接GE，如图，易证GE是△ACD的中位线，即可得到GE∥DA，即可得到∠FHI=∠FGE=∠FGE=90°．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=GE，从而有= ， 根据圆周角定理可得∠1=∠2，根据等角的余角相等可得∠3=∠4，根据等角对等边可得FD=DI；②易知S⊙O=π（）2=πm2 ， S菱形ABCD=2m2n=2mn，要求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比，只需得到m与n的关系，易证EI=EA=m，DF=AC=2m，EF=FI+IE=DF+AE=3m，在Rt△DEF中运用勾股定理即可解决问题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的判定的相关知识，掌握如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等，以及对直角三角形斜边上的中线的理解，了解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．