Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点C（3，0），顶点D（0，4），过点A作AF⊥y轴于F点，过点B作x轴的垂线交过A点的反比例函数y＝（k＞0）的图象于E点，交x轴于G点．

（1）求证：△CDO≌△DAF．

（2）求反比例函数解析式及点E的坐标；

（3）如图2，过点C作直线l∥AE，在直线l上是否存在一点P使△PAC是等腰三角形？若存在，求P点坐标，不存在说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）为y＝，点E的坐标为（7，4）；（3）在直线l上存在一点P使△PAC是等腰三角形，点P的坐标为（﹣3，6），（﹣2，5），（8，﹣5），（﹣，）．

【解析】

（1）利用同角的余角相等可得出∠CDO＝∠DAF，结合∠DOC＝∠AFD＝90°及DC＝AD，可证出△CDO≌△DAF；

（2）利用全等三角形的性质可求出AF，FD的长，进而可得出点A的坐标，由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数解析式，同（1）可证出△CDO≌△BCG，利用全等三角形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标；

（3）由点A，E的坐标，利用待定系数法可求出直线AE的解析式，结合直线l∥AE及点C的坐标可求出直线l的解析式，设点P的坐标为（m，﹣m+3），结合点A，C的坐标可得出AC2，AP2，CP2的值，分AC＝AP，CA＝CP及PA＝PC三种情况可得出关于m的方程，解之即可得出点P的坐标．

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝DC，∠ADC＝90°，

∴∠ADF+∠CDO＝90°．

∵∠ADF+∠DAF＝90°，

∴∠CDO＝∠DAF．

在△CDO和△DAF中，

，

∴△CDO和△DAF（AAS）．

（2）解：∵点C的坐标为（3，0），点D的坐标为（0，4），

∴OC＝3，OD＝4．

∵△CDO和△DAF，

∴FA＝OD＝4，FD＝OC＝3，

∴OF＝OD+FD＝7，

∴点A的坐标为（4，7）．

∵反比例函数y＝（k＞0）过点A，

∴k＝4×7＝28，

∴反比例函数解析式为y＝．

同（1）可证出：△CDO≌△BCG，

∴GB＝OC＝3，GC＝OD＝4，

∴OG＝OC+GC＝7，

∴点G的坐标为（7，0）．

当x＝7时，y＝＝4，

∴点E的坐标为（7，4）．

（3）解：设直线AE的解析式为y＝ax+b（a≠0），

将A（4，7），E（7，4）代入y＝ax+b，得：，

解得：，

∴直线AE的解析式为y＝﹣x+11．

∵直线l∥AE，且直线l过点C（3，0），

∴直线l的解析式为y＝﹣x+3．

设点P的坐标为（m，﹣m+3），

∵点A的坐标为（4，7），点C的坐标为（3，0），

∴AP2＝（m﹣4）2+（﹣m+3﹣7）2＝2m2+32，AC2＝（3﹣4）2+（0﹣7）2＝50，CP2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝2m2﹣12m+18．

分三种情况考虑：

①当AC＝AP时，50＝2m2+32，

解得：m1＝3（舍去），m2＝﹣3，

∴点P的坐标为（﹣3，6）；

②当CA＝CP时，50＝2m2﹣12m+18，

解得：m3＝﹣2，m4＝8，

∴点P的坐标为（﹣2，5）或（8，﹣5）；

③当PA＝PC时，2m2+32＝2m2﹣12m+18，

解得：m＝﹣，

∴点P的坐标为（﹣，）．

综上所述：在直线l上存在一点P使△PAC是等腰三角形，点P的坐标为（﹣3，6），（﹣2，5），（8，﹣5），（﹣，）．