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【题目】阅读下列材料,完成任务:

自相似图形

定义:若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形,则称这个图形是自相似图形.例如:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点,连接EG,HF交于点O,易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形,且与原正方形相似,故正方形是自相似图形.

任务:

(1)图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中,每个正方形与原正方形的相似比为   

(2)如图2,已知ABC中,ACB=90°,AC=4,BC=3,小明发现ABC也是“自相似图形”,他的思路是:过点C作CDAB于点D,则CD将ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,则ACD与ABC的相似比为   

(3)现有一个矩形ABCD是自相似图形,其中长AD=a,宽AB=b(a>b).

请从下列A、B两题中任选一条作答:我选择   题.

A:①如图3﹣1,若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形,且与原矩形都相似,则a=   (用含b的式子表示);

如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形,且与原矩形都相似,则a=   (用含n,b的式子表示);

B:①如图4﹣1,若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a=   (用含b的式子表示);

如图4﹣2,若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a=   (用含m,n,b的式子表示).

【答案】1;(2;(3A B

【解析】试题分析:1)根据相似比的定义求解即可;(2)由勾股定理求得AB=5,根据相似比等于可求得答案;(3A.①由矩形ABEF∽矩形FECD列出比例式整理可得;②由每个小矩形都是全等的,可得其边长为ba列出比例式整理即可;B.①分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况,根据相似多边形的性质列比例式求解;②由题意可知纵向2块矩形全等,横向3块矩形也全等,所以DN=b然后分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况,根据相似多边形的性质列比例式求解.

解:(1)∵点HAD的中点,

AH=AD,

∵正方形AEOH∽正方形ABCD,

∴相似比为: ==

故答案为:

(2)在RtABC中,AC=4,BC=3,根据勾股定理得,AB=5,

∴△ACD与△ABC相似的相似比为: =

故答案为:

(3)A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD,

AF:AB=AB:AD,

a:b=b:a,

a=b;

故答案为:

②每个小矩形都是全等的,则其边长为ba,

b: a=a:b,

a=b;

故答案为:

B、①如图2,

由①②可知纵向2块矩形全等,横向3块矩形也全等,

DN=b,

、当FM是矩形DFMN的长时,

∵矩形FMND∽矩形ABCD,

FD:DN=AD:AB,

FD: b=a:b,

解得FD=a,

AF=a﹣a=a,

AG===a,

∵矩形GABH∽矩形ABCD,

AG:AB=AB:AD

a:b=b:a

得:a=b;

、当DF是矩形DFMN的长时,

∵矩形DFMN∽矩形ABCD,

FD:DN=AB:AD

FD: b=b:a

解得FD=

AF=a﹣=

AG==

∵矩形GABH∽矩形ABCD,

AG:AB=AB:AD

:b=b:a,

得:a=b;

故答案为:

②如图3,

由①②可知纵向m块矩形全等,横向n块矩形也全等,

DN=b,

、当FM是矩形DFMN的长时,

∵矩形FMND∽矩形ABCD,

FD:DN=AD:AB,

FD: b=a:b,

解得FD=a,

AF=a﹣a,

AG===a,

∵矩形GABH∽矩形ABCD,

AG:AB=AB:AD

a:b=b:a

得:a=b;

、当DF是矩形DFMN的长时,

∵矩形DFMN∽矩形ABCD,

FD:DN=AB:AD

FD: b=b:a

解得FD=

AF=a﹣

AG==

∵矩形GABH∽矩形ABCD,

AG:AB=AB:AD

:b=b:a,

得:a=b;

故答案为: bb.

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初中生课外阅读情况调查统计表

种类

频数

频率

卡通画

a

0.56

时文杂志

32

b

武侠小说

c

0.15

文学名著

26

d

1)这次随机调查了几名学生?统计表中ad各代表什么数值?

2)试估计该校1500名学生中有多少名同学最喜欢文学名著类书籍?

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2)一个三位正整数F,各个数位上的数字互不相同且都不为0.若从它的百位、十位、个位上的数字中任意选择两个数字组成6个不同的两位数.若这6个两位数的和等于这个三位数本身,则称这样的三位数F友好数,例如:132友好数”.

一个三位正整数P,各个数位上的数字互不相同且都不为0,若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和,则称这样的三位数P和平数

①直接判断123是不是友好数

②直接写出共有   和平数

③通过列方程的方法求出既是和平数又是友好数的数.

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