Question

如图，⊙O的半径为4，A、B、C均是⊙O的点，点D是∠BAC的平分线与⊙O的交点，若∠BAC=120°，则弦BD的长为

 

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Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,垂径定理

专题：计算题

分析：连结BC、OB、OC，延长DO交BC与H，如图，利用角平分线定义得∠ABD=∠CAD=

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∠BAC=60°，则根据圆周角定理得到∠DBC=∠BCD=60°，于是可判断△BCD为等边三角形，所以BD=BC，∠BDC=60°；再利用∠ABD=∠CAD得到弧DC=弧DB，根据垂径定理的推论得到DH⊥BC，BH=CH，接着根据圆周角定理计算出∠BOH=60°，然后在Rt△BOH中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH=2

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，则BC=2BH=4

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，即BD=4

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解答：解：连结BC、OB、OC，延长DO交BC与H，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠ABD=∠CAD=

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2

∠BAC=60°，
∴∠DBC=∠BCD=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BD=BC，∠BDC=60°，
∵∠ABD=∠CAD，
∴弧DC=弧DB，
∴DH⊥BC，
∴BH=CH，∠BOH=

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∠BOC，
而∠BOC=2∠BDC=120°，
∴∠BOH=60°，
在Rt△BOH中，∵∠OBH=30°，
∴OH=

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OB=2，
∴BH=

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OH=2

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，
∴BC=2BH=4

3

，
∴BD=4

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故答案为4

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点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．