Question

9．已知点D与点A（0，6），B（0，-4），C（x，y）是平行四边形的四个顶点，其中x，y满足3x-4y+12=0，则CD长的最小值为（　　）

• A． 10
• B． 2$\sqrt{7}$
• C． $\frac{16}{5}$
• D． 4

Answer 1

分析 如图所示，根据平行四边形的性质可知：对角线AB、CD互相平分，可得CD过线段AB的中点M，即CM=DM，根据A与B坐标求出M坐标，要求CD的最小值只需求出CM的最小值即可．

解答 解：根据平行四边形的性质可知：对角线AB、CD互相平分，
∴CD过线段AB的中点M，即CM=DM，
∵A（0，6），B（0，-4），
∴M（0，1），
∵点到直线的距离垂线段最短，
∴过M作直线的垂线交直线于点C，此时CM最小，
直线3x-4y+12=0，令x=0得到y=3；令y=0得到x=-4，即F（-4，0），E（0，3），
∴OE=3，OF=4，EM=2，EF=$\sqrt{O{E}^{2}+O{F}^{2}}$=5，
∵△EOF∽△ECM，
∴$\frac{CM}{OF}$=$\frac{EM}{EF}$，即$\frac{CM}{4}$=$\frac{2}{5}$，
解得：CM=$\frac{8}{5}$，
则CD的最小值为$\frac{16}{5}$．
故选C．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．