Question

【题目】已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB.

（1）问题发现

如图①过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为 ；BD、AB、CB之间的数量关系为 .

（2）拓展探究

当MN绕点A旋转到如图②位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明.

（3）解决问题

当MN绕点A旋转到如图③位置时（点C，D在直线MN两侧），若此时∠BCD=30°，BD=2，则CB= .

Answer 1

【答案】（1）BD=AE，；（2），见解析；（3）

【解析】

（1）过点C作CE⊥CB，得到∠BCD=∠ACE，判断出△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形即可．

（2）过点C作CE⊥CB于点C，判断出△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形，即可得出结论；

（3）先判断出△ACE≌△BCD，CE=BC，得到△BCE为等腰直角三角形，得到，求出BH，再用勾股定理即可．

解：（1）如图1，过点C作⊥CB交MN于点E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°-∠ACB，∠BCD=90°-∠ACB，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴在四边形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360°，

∴∠BAC+∠D=180°，

∵∠CAE+∠BAC=180°，

∠CAE=∠D，

∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∵∠ECB=90°，

∴△ECB是等腰直角三角形，

，

∴BE=AE+AB=DB+AB，

，

故答案为：BD=AE，；

（2）如图2，过点C作⊥CB交MN于点E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°-∠AFB，∠D=90°-∠CFD，

∵∠AFB=∠CFD，

∴∠CAE=∠D，

∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∵∠ECB=90°，

∴△ECB是等腰直角三角形，

，

，

；

（3）如图3，过点C作⊥CB交MN于点E，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE=90°-∠DCE，

∠BCD=90°-∠DCE，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠CFD，

∵∠AFC=∠BFD，

∴∠CAE=∠D，

∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=DB，CE=CB，

∵∠ECB=90°，

∴△ECB是等腰直角三角形，

，

，

，

∵△BCE为等腰直角三角形，

∴∠BEC=∠CBE=45°，

∵∠ABD=90°，

∴∠DBH=45°

过点D作DH⊥BC，

∴△DHB是等腰直角三角形，

，

，

在Rt△CDH中，，

，

，

故答案为：.