Question

梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，CE⊥AB于点E，点F在边CD上，且BE•CE=BC•CF．
（1）求证：AE•CF=BE•DF；
（2）若点E为AB中点，求证：AD•BC=2EC²-BC²．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）求出∠B=∠DCE，证△BCE∽△CEF，推出∠BCE=∠CEF，推出EF∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出即可．
（2）求出EF=

1

2

（AD+BC），根据相似三角形的性质得出CE²=BC•EF，代入求出即可．

解答：证明：（1）∵CE⊥AB，
∴∠B+∠BCE=90°，
∵DC⊥BC，
∴∠DCE+∠BCE=90°，
∴∠B=∠DCE，
∵BE×CE=BC×CF，
∴

BE

BC

=

CF

CE

，
∴△BCE∽△CEF，
∴∠BCE=∠CEF，
∴EF∥BC，
∴

AE

BE

=

DF

CF

，
即AE•CF=BE•DF．

（2）∵在梯形ABCD中，EF∥BC∥AD，E为AB中点，
∴F为DC的中点，
∴EF=

1

2

（AD+BC），
∵△BCE∽△CEF，
∴

BC

CE

=

CE

EF

，即CE²=BC•EF，
∴CE²=

1

2

（AD+BC）•BC，
整理得：AD•BC=2EC²-BC²．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线的应用，主要考查了学生的推理能力，题目比较典型，难度适中．