Question

3．矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为6$\sqrt{2}$或2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 如图1，当点P在CD上时，由折叠的性质得到四边形PFBE是正方形，EF过点C，根据勾股定理即可得到结果；如图2当点P在AD上时，过E作EQ⊥AB于Q，根据勾股定理得到PB=$\sqrt{A{P}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}{+9}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，推出△ABP∽△EFQ，列比例式即可得到结果．

解答 解：如图1，当点P在CD上时，
∵PD=3，CD=AB=9，
∴CP=6，∵EF垂直平分PB，
∴四边形PFBE是正方形，EF过点C，
∴EF=6$\sqrt{2}$，
如图2，当点P在AD上时，
过E作EQ⊥AB于Q，
∵PD=3，AD=6，
∴AP=3，
∴PB=$\sqrt{A{P}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}{+9}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
∵EF垂直平分PB，
∴∠1=∠2，
∵∠A=∠EQF，
∴△ABP∽△EFQ，
∴$\frac{EF}{PB}=\frac{EQ}{AB}$，
∴$\frac{EF}{3\sqrt{10}}=\frac{6}{9}$，
∴EF=2$\sqrt{10}$，
综上所述：EF长为6$\sqrt{2}$或2$\sqrt{10}$．
故答案为：6$\sqrt{2}$或2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．