Question

8．甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地．40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示．
请结合图象信息解答下列问题：
（1）直接写出a的值，并求甲车的速度；
（2）求图中线段EF所表示的y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）乙车出发多少小时与甲车相距15千米？直接写出答案．

Answer 1

分析 （1）由乙在途中的货站装货耗时半小时易得a=4.5，甲从A到B共用了（$\frac{2}{3}$+7）小时，然后利用速度公式计算甲的速度；
（2）设乙开始的速度为v千米/小时，利用乙两段时间内的路程和为460列方程4v+（7-4.5）（v-50）=460，解得v=90（千米/小时），计算出4v=360，则可得到D（4，360），E（4.5，360），然后利用待定系数法求出线段EF所表示的y与x的函数关系式为y=40x+180（4.5≤x≤7）；
（3）先计算60×$\frac{2}{3}$=40，则可得到C（0，40），再利用待定系数法求出直线CF的解析式为y=60x+40，和直线OD的解析式为y=90x（0≤x≤4），然后利用函数值相差15列方程：当60x+40-90x=15，解得x=$\frac{5}{6}$；当90x-（60x+40）=15，解得x=$\frac{11}{6}$；当40x+180-（60x+40）=15，解得 x=$\frac{25}{4}$．

解答 解：（1）a=4.5，
甲车的速度=$\frac{460}{\frac{2}{3}+7}$=60（千米/小时）；
（2）设乙开始的速度为v千米/小时，
则4v+（7-4.5）（v-50）=460，解得v=90（千米/小时），
4v=360，
则D（4，360），E（4.5，360），
设直线EF的解析式为y=kx+b，
把E（4.5，360），F（7，460）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4.5k+b=360}\\{7k+b=460}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=40}\\{b=180}\end{array}\right.$．
所以线段EF所表示的y与x的函数关系式为y=40x+180（4.5≤x≤7）；
（3）甲车前40分钟的路程为60×$\frac{2}{3}$=40千米，则C（0，40），
设直线CF的解析式为y=mx+n，
把C（0，40），F（7，460）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=40}\\{7m+n=460}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=60}\\{n=40}\end{array}\right.$，
所以直线CF的解析式为y=60x+40，
易得直线OD的解析式为y=90x（0≤x≤4），
设甲乙两车中途相遇点为G，由60x+40=90x，解得x=$\frac{4}{3}$小时，即乙车出发$\frac{4}{3}$小时后，甲乙两车相遇，
当乙车在OG段时，由60x+40-90x=15，解得x=$\frac{5}{6}$，介于0～$\frac{4}{3}$小时之间，符合题意；
当乙车在GD段时，由90x-（60x+40）=15，解得x=$\frac{11}{6}$，介于$\frac{4}{3}$～4小时之间，符合题意；
当乙车在DE段时，由360-（60x+40）=15，解得x=$\frac{61}{12}$，不介于4～4.5之间，不符合题意；
当乙车在EF段时，由40x+180-（60x+40）=15，解得x=$\frac{25}{4}$，介于4.5～7之间，符合题意．
所以乙车出发$\frac{5}{6}$小时或$\frac{11}{6}$小时或$\frac{25}{4}$小时，乙与甲车相距15千米．

点评 本题考查了一次函数的应用：学会从函数图象中获取信息，特别注意自变量取值范围的变化．