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【题目】平面直角坐标系中,横坐标为2的点A在反比例函数y(k0)的图象上,过点AABx轴于点B

(1)k的值;

(2)x轴的负半轴上找点P,将点A绕点P顺时针旋转90°,其对应点A落在此反比例函数第三象限的图象上,求点P的坐标;

(3)直线yx+n(n0)AB的延长线交于点C,与反比例函数图象交于点E,若点E到直线AB的距离等于AC,求n的值.

【答案】(1)k=8(2)P坐标为(10)(3)n的值为﹣3

【解析】

1)设OAa,则AB2aOB2,利用勾股定理解出a,得到A点,代入得到k即可;(2)过点A′AGx轴交于点G,设点P(a0),易证△PAB≌△A′PG,得到点A′的坐标为(a+4a2),得(a+4)(a2)8,解出a即可;(3)设线yx+n(n0)AB和双曲线分别交于点C、点E(E′),过点E(E′)E(′E)F(F′)AB交于点F(F′),E点有两种情况,在第一象限或者第三象限,将直线表达式与反比例函数表达式联立,用n表示出EF,E到直线AB的距离为FE等于AC,得到方程解出n即可

解:(1),设:OAa,则AB2aOB2

由勾股定理得:(a)2(2a)2+4,解得:a2

则点A(24)

k2×48

(2)A绕点P顺时针旋转90°,点A对应点A′落在此反比例函数第三象限的图象上,

过点A′AGx轴交于点G,设点P(a0)

∵∠PAB+BPA90°,∠BPA+A′PG90°

∴∠A′PG=∠PAB

ABP=∠A′GP90°PAPA′

∴△PAB≌△A′PG(AAS)

PGAB4GA′PB2a

则点A′的坐标为(a+4a2)

(a+4)(a2)8

解得:a=﹣1(正值已舍去)

故点P坐标为(10)

(3)设线yx+n(n0)AB和双曲线分别交于点C、点E(E′)

过点E(E′)E(′E)F(F′)AB交于点F(F′)

①当直线与双曲线交点为E时,

则点C(21+n)AC41n3n

将直线表达式与反比例函数表达式联立并整理得:x2+2nx160

解得:x=﹣,则xE=﹣n

EF=﹣n2

E到直线AB的距离为FE等于AC

则﹣n23n

解得:n=﹣3(正值已舍去)

②当直线与双曲线交点为E′时,

同理可得:n

故:n的值为﹣3

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2)若A型电动自行车每辆售价为2800元,B型电动自行车每辆售价为3500元,设该商店计划购进A型电动自行车m辆,两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元.写出ym之间的函数关系式;

3)在(2)的条件下,该商店如何进货才能获得最大利润?此时最大利润是多少元?

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