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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O外一点,连接OC交⊙O于点D,连接BD并延长交线段AC于点E,∠CDE=∠CAD

1)求证:CD2ACEC

2)判断AC与⊙O的位置关系,并证明你的结论;

3)若AEEC,求tanB的值.

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).

【解析】

1)根据相似三角形的判定证明△CDE∽△CAD,再根据相似三角形的性质定理即可证明;

2)根据圆周角定理得到∠ADB=90°,再利用等量代换得到∠B=∠CAD,进而得到∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠B+∠BAD=90°,即可得证;

3)根据(1)与题意得到CD=CE,利用相似三角形的性质与等量代换可得tanB=tan∠CAD=

1)证明:∵∠CDE=∠CAD∠C=∠C
∴△CDE∽△CAD

∴CD2=CACE
2AC⊙O相切,
证明:∵AC⊙O的直径,
∴∠ADB=90°
∴∠BAD+∠B=90°
∵OB=OD
∴∠B=∠ODB
∵∠ODB=∠CDE∠CDE=∠CAD
∴∠B=∠CAD
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠B+∠BAD=90°
∴BA⊥AC
∴AC⊙O相切;
3)解:∵AE=EC
∴CD2=CACE=AE+CECE=2CE2
∴CD=CE
∵△CDE∽△CAD

∵∠ADE=180°-∠ADB=90°∠B=∠CAD
∴tanB=tan∠CAD=

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