Question

3．（1）问题探究：
如图①，四边形ABCD，DEFG都是正方形，连接AE，CG，观察图形，猜想AE与CG之间的数量关系和位置关系，并说明你的猜想．
（2）拓展延伸：
如图②，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，试确定AE与BD之间的数量关系，并求出∠APB的度数．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，然后由全等三角形的性质，即可证得AE=CG，AE⊥CG．
（2）易证△DCB≌△ECA，得到AE=BD，根据三角形内角和易得∠APB=60°．

解答 解：（1）AE=CG，AE⊥CG．理由：
如图1，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AD=CD，ED=GD，∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDG}\\{ED=GD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG，∠EAD=∠GCD，
∵∠AGH=∠CGD，
∴∠AHG=∠CDG=90°，
∴AE⊥CG；
（2）AE=BD，∠APB=60°，
易证△DCB≌△ECA，
∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，
∵∠PED+∠PEC=60°，
∴∠PED+∠BDC=60°，
∵∠EDC=60°，
∴∠APB=60°．

点评 此题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．