Question

在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为E、F．如图①．
（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P在DC的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论．
图①BE、DF、EF的数量关系为

 

．
图②BE、DF、EF的数量关系为

 

．
图③BE、DF、EF的数量关系为

 

．
（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：根据正方形的性质可得AB=AD，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，再利用“角角边”证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DF，AF=BE，然后结合图形求解即可．

解答：解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠AEB=∠DFA=90°，
∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
在△ABE和△DAF中，

∠ABE=∠DAF ∠AEB=∠DFA=90° AB=AD

，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE=DF，AF=BE，
如图①，∵AF=AE+EF，
∴BE=DF+EF，
如图②，∵AE=AF+EF，
∴DF=BE+EF，
如图③，∵EF=AE+AF，
∴EF=DF+BE．
故答案为：BE=DF+EF；DF=BE+EF；EF=DF+BE．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图确定出全等三角形是解题的关键．