Question

20．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为斜边BC的中点，P为直线AC上的动点，过点P作直线PF∥AB，交直线AD于点E，交直线BC于点F，且P不与A、C重合，F不与D重合．
（1）如图a，点P在线段AC上，若AB=AC=5，AP=2，则PE=2，PF=3．
（2）如图b，若AB≠AC
①若点P仍在线段AC上，请猜想PE、PF、AB之间的数量关系，并证明你的结论．
②若点P在线段AC外，请猜想①中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出线段PE、PF、AB之间的数量关系，不需证明．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得到△APE和△PFC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结果；
（2）猜想PE+PF=AB，①如图1，作FH⊥AB于点H，得到四边形AHFP为矩形，于是得到AH=PF，AP=HF，由AD为斜边BC的中点，得到AD=BD=$\frac{1}{2}$BC，∠B=∠BAD，根据平行线的性质得到∠AEP=∠BAD，证得△AEP≌△FBH，于是结论可得；②不成立，当点P在AC延长线时，AB=PE-PF，当点P在CA延长线时，AB=PF-PE．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC=5，
∴∠C=45°，
∵PF∥AB，
∴∠FPC=∠BAC=90°，
∴PF=PC，
∵AP=2，
∴PF=PC=3，∵∠EPA=∠BAC=90°，
∵D为斜边BC的中点，
∴∠EAP=45°，
∴PE=PA=2；

（2）猜想PE+PF=AB，
①如图1，作FH⊥AB于点H，
∴∠AHF=90°，
∵∠BAC=90°，
 又∵PF∥AB
∴∠APF=∠HAP=90°，
∴四边形AHFP为矩形，
∴AH=PF，AP=HF，
∵AD为斜边BC的中点，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$BC，∴∠B=∠BAD，
∵PF∥AB，
∴∠AEP=∠BAD，
∴∠AEP=∠B，在△AEP与△FBH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠BHF}\\{∠AEP=∠B}\\{AP=HF}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△FBH，
∴PE=HB，
∵AB=AH+BH，
∴AB=PE+PF，
②不成立，当点P在AC延长线时，AB=PE-PF，
如图2，作FH⊥AB于点H，
∴∠AHF=90°，
∵∠BAC=90°
 又∵PF∥AB
∴∠APF=∠HAP=90°，
∴四边形AHFP为矩形，
∴AH=PF，AP=HF，
∵AD为斜边BC的中点，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$BC，∴∠ABC=∠BAD，
∵PF∥AB，
∴∠AEP=∠BAD，
∴∠AEP=∠B，
在△AEP与△FBH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠BHF}\\{∠AEP=∠B}\\{AP=HF}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△FBH，
∴PE=HB，
∴AB=HB-AH=PE-PF；
当点P在CA延长线时，AB=PF-PE．
如图3，作FH⊥AB于点H，
∴四边形AHFP为矩形，
∴FH=AP，
同理△AEP≌△FBH，
∴PE=HB，
∴AB=AH-HB=PF-PE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造矩形是解题的关键．