Question

8．如图，扇形AOB的半径为2，∠AOB=120°，点P、Q是半径OA、OB上的动点，M是$\widehat{AB}$上一点，且MP⊥OA于P，MQ⊥OB于Q，I是△MPQ的内心，则MI的长度的范围是（　　）

• A． 1≤MI≤$\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$≤MI≤1
• C． $\frac{1}{2}$≤MI≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$-1≤MI≤1

Answer 1

分析 ①当点P，Q分别为OA，OB的中点时，MI有最大值，如图1，连接OM，PI，由∠AOB=120°，OP=OQ，得到∠OPQ=∠OQP=30°，证得△PQM是等边三角形，根据I是△MPQ的内心，求得IM的最大值；
②当P或Q与O重合时，IM有最小值，如图2，过作IE⊥PQ，IF⊥MQ，则四边形IEQF是正方形，根据I是△MPQ的内心，得到IF是内切圆的半径，∠IMQ=30°，由于∠AOB=120°，MP⊥OA得到∠MPQ=30°，根据PM=2，求得PQ=$\sqrt{3}$，MQ=1，得到IF=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，求出MI最小值．

解答 解：①当点P，Q分别为OA，OB的中点时，MI有最大值，
如图1，连接OM，PI，
∵∠AOB=120°，OP=OQ，
∴∠OPQ=∠OQP=30°，
∵MP⊥OA于P，MQ⊥OB于Q，
∴∠MPQ=∠MQP=60°，
∴△PQM是等边三角形，
∵I是△MPQ的内心，
∴OM过点I，
∴IM=OI=$\frac{1}{2}$OM=1；
②当P或Q与O重合时，IM有最小值，如图2，过作IE⊥PQ，IF⊥MQ，
则四边形IEQF是正方形，
∵I是△MPQ的内心，
∴IF是内切圆的半径，∠IMQ=30°，
∴IF=$\frac{1}{2}$（PM+PQ+MQ），
∵∠AOB=120°，MP⊥OA，
∴∠MPQ=30°，
∵PM=2，
∴PQ=$\sqrt{3}$，MQ=1，
∴IF=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴MI=$\sqrt{3}$-1，
∴MI的长度的范围是：$\sqrt{3}$-1≤IM≤1，
故选D．

点评 本题考查了三角形的内心和内切圆，最值问题，知道三角形内切圆的半径=两直角边的和减去斜边的差的一半是解题的关键．