Question

1．阅读理解：“速算”是指在特定的情况下用特定的方方进行计算，它有很强的技巧性．如：末位数字相同，手位数字和为十的两位数想乘，它的方法是：两首位相乘再加上末位得数作为前积，末位的平方作为后积（若后积是一位数则十位补0），前积后面天上后积就是得数．
如：84×24=100×（8×2+4）+4²=2016
42×62=100×（4×6+2）+2²=2604
（1）仿照上面的方法，写出计算77×37的式子
77×37=100×（7×3+7）+7²=2849；
（2）如果分别用a，b表示两个两位数的十位数字，用c表示个位数字，请用含a、b、c的式子表示上面的规律，并说明其正确性；
（3）猜想4918×5118怎样用上面的方法计算？写出过程．并仿照上面的方法推导出：计算前两位数和为一百，后两位相同的两个四位数相乘的方法．

Answer 1

分析 （1）仿照以上方法求出原式的值即可；
（2）根据题示规律等式右边为十位数的积与个位数和的100倍加上个位数的平方，列式表示即可，验证可根据整式乘法展开结合十位数字和为10变形可得；
（3）类比（2）中方法4918×5118=10000×（49×51+18）+18²，验算过程可将4918×5118写成（49×100+18）（51×100+18）后展开、合并可得，
推广到任意具有相同规律的四位数，分别用a，b表示两个四位数的千位和百位组成的两位数，用c表示两个四位数上个位和十位组成的两位数，且a+b=100，则（100a+c）（100b+c）=10000（ab+c）+c²，验证可参照上述做法．

解答 解：（1）77×37=100×（7×3+7）+7²=2849；
（2）（10a+c）（10b+c）=100（ab+c）+c²，其中a+b=10，
证明：左边=100ab+10ac+10bc+c²
=100ab+10c（a+b）+c²
=100ab+100c+c²
=100（ab+c）+c²=右边，
故（10a+c）（10b+c）=100（ab+c）+c²，其中a+b=10，成立；
（3）4918×5118=（49×100+18）（51×100+18）
=49×51×10000+49×100×18+51×100×18+18²
=10000×49×51+100×18×（49+51）+18²
=10000×49×51+10000×18+18²
=10000×（49×51+18）+18²，
即4918×5118=10000×（49×51+18）+18²
分别用a，b表示两个四位数的千位和百位组成的两位数，用c表示两个四位数上个位和十位组成的两位数，且a+b=100，
则（100a+c）（100b+c）=10000ab+100ac+100bc+c²
=10000ab+100c（a+b）+c²
=10000ab+10000c+c²
=10000（ab+c）+c²
即（100a+c）（100b+c）=10000（ab+c）+c²．

点评 本题主要考查整式的混合运算和数字的计算规律，寻找计算规律是前提，并加以运用和推广是关键，主要考查了数学的类比思想，整式的运算是解题的基础．