Question

9．Rt△ABC中，AC=BC，∠DCE=45°，探究DE，BE，AD的关系．

Answer 1

分析 利用旋转的定义把△CBE绕点C顺时针旋转90°得到△CAF，则根据旋转的性质得AF=BE，CF=CE，∠FCE=90°，∠FAC=∠B=45°，易得∠DCF=45°，∠FAD=90°，再证明△CDF≌△CDE得到DF=DE，则根据勾股定理得到AF²+AD²=FD²，然后利用等线段代换即可得到BE²+AD²=DE²．

解答 解：∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=90°
把△CBE绕点C顺时针旋转90°得到△CAF，
∴AF=BE，CF=CE，∠FCE=90°，∠FAC=∠B=45°，
∴∠FAD=∠FAC+∠CAB=90°，
∵∠DCE=45°，
∴∠DCF=45°，
在△CDF和△CDE中
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CD}\\{∠DCF=∠DCE}\\{CF=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△CDE，
∴DF=DE，
在Rt△ADF中，AF²+AD²=FD²，
∴BE²+AD²=DE²．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和三角形全等的判定与性质．解决此题的关键是利用旋转把线段AD、DE、BE组成一个直角三角形．